第74讲 定点定值问题

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1、2013年高考第一轮复习资料理科数学第74讲定点、定值问题【考点解读】定点定值问题是解析几何大题中的考查重点。此类问题定中有动，动中有定，并且常与轨迹问题，曲线系问题等相结合，深入考查直线和圆、圆锥曲线，直线和圆锥曲线位置关系等相关知识。考查数形结合，分类讨论，化归与转化，函数与方程等数学思想方法。【知识扫描】定点定值问题主要考查三个题型：1.定点问题解题关键在于寻找题中用来联系已知量、未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量、未知量代入上述关系，通过整理、变形转化为过定点的直线系、曲线系

2、问题来解决。2.定值问题解题关键在于选定一个适合该题设的德参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法导出所求定值关系式需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果。3.定轨迹问题实质是求轨迹方程，可用求轨迹方程的方法求解。【考计点拨】1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并且满足OA⊥OB，则y1y2等于(　　)A．－4p2B．－3p2C．－2p2D．－p2解：　∵OA⊥OB，∴·＝0.∴x1x2＋y1y2＝0

3、.①∵A、B都在抛物线上，∴∴代入①得·＋y1y2＝0，解得y1y2＝－4p2.2.抛物线y＝ax2与直线y＝kx＋b(k≠0)交于A，B两点，且此两点的横坐标分别为x1，x2，直线与x轴交点的横坐标是x3，则恒有(　　)A．x3＝x1＋x2　　　　　　B．x1x2＝x1x3＋x2x3C．x1＋x2＋x3＝0D．x1x2＋x2x3＋x3x1＝0解：　由方程组得ax2－kx－b＝0，可知x1＋x2＝，x1x2＝－，x3＝－，代入各项验证即可得B正确，故选B.3.过抛物线y2＝2px(p>0)上一定点M(x

4、0，y0)(y0≠0)，作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)，当MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时，则等于(　　)A．－2B．2C．4D．－4解：　kMA＝＝＝＝(y0≠y1)，同理：kMB＝.由题意：kMA＝－kMB，∴＝－，∴y1＋y0＝－(y2＋y0)，y1＋y2＝－2y0，∴＝－2，故选A.72013年高考第一轮复习资料理科数学4．过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点，则（1）（2）点例解析考点一、定点问题例1.椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，该椭圆经过点且离心率为．（1

5、）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．解：（1）椭圆的标准方程为（2）设，得:，,以为直径的圆过椭圆的右顶点，，，，，且均满足，当时，的方程为，则直线过定点与已知矛盾当时，的方程为，则直线过定点直线过定点，定点坐标为规律小结：解决定点问题要注意曲线系、恒成立问题OMNF2F1yx变式训练1：如图，椭圆过点72013年高考第一轮复习资料理科数学，其左、右焦点分别为，离心率，是椭圆右准线上的两个动点，且．（1）求椭

6、圆的方程；（2）求的最小值；（3）以为直径的圆是否过定点？请证明你的结论．解：（1），且过点，解得椭圆方程为。设点则，，又，的最小值为．圆心的坐标为，半径.圆的方程为，整理得：.，令，得，.圆过定点.考点二、定值问题例2.如图，为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且，Q为线段OD的中点，已知

7、AB

8、=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持

9、PA

10、+

11、PB

12、的值不变。（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；（Ⅱ）过点B的直线与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，若为定值。解：（Ⅰ

13、）以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，72013年高考第一轮复习资料理科数学O为原点，建立平面直角坐标系，∵动点P在曲线C上运动且保持

14、PA

15、+

16、PB

17、的值不变．且点Q在曲线C上,∴

18、PA

19、+

20、PB

21、=

22、QA

23、+

24、QB

25、=2＞

26、AB

27、=4．∴曲线C是为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2,∴a=,c=2,b=1．∴曲线C的方程为+y2=1（Ⅱ）证法1：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．∵，∴．∴，．将M点

28、坐标代入到椭圆方程中得：，去分母整理，得．同理，由可得：．∴，是方程的两个根，∴．（Ⅱ）证法2：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．显然直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线的方程是．将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得．∴，．又∵，则．∴，同理，由，∴．∴．规律小结：72013年高考第一轮复习资料理科数学由特殊情况入手求得定值，把没有方向的问题转化成有目标的证明也是求定值问题的一种