自动控制理论—数学模型

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1、第二章控制系统的数学模型6/10/20211本章的主要内容控制系统的微分方程-建立和求解控制系统的传递函数控制系统的结构图-等效变换控制系统的信号流图-梅逊公式各种数学模型的相互转换6/10/20212概述[数学模型]：我们把描述系统或元件的动态过程中各变量之间相互关系的数学表达式叫做系统或元件的数学模型。概述6/10/20213分析法——对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律实验法——人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。建立控制系统数学模型的方法6/10/20214数学模型的几种表示方式1、微分方程－输入

2、量和状态变量都是连续的2、差分方程－离散系统频率特性，波特图1传递函数2结构图－信号流图6/10/20215控制系统如按照数学模型分类的话，可以分为线性和非线性系统，定常系统和时变系统。例如对一个微分方程，若已知初值和输入值，对微分方程求解，就可以得出输出量的时域表达式。据此可对系统进行分析。所以建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一步也是最重要的一步。常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图，信号流图，频率特性以及状态空间描述等。6/10/20216[线性系统]：如果系统满足叠加原理，则称其为线性系统。叠加原理说

3、明，两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。线性系统对几个输入量同时作用的响应可以一个一个地处理，然后对每一个输入量响应的结果进行叠加。[线性定常系统和线性时变系统]：可以用线性定常（常系数）微分方程描述的系统称为线性定常系统。如果描述系统的微分方程的系数是时间的函数，则这类系统为线性时变系统。宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的质量随着燃料的消耗而变化）。概述6/10/20217古典控制理论中，采用的是单输入单输出描述方法。主要是针对线性定常系统，对于非线性系统和时变系统

4、，解决问题的能力是极其有限的。概述6/10/202182.1控制系统的时域数学模型——微分方程6/10/20219微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。控制系统的微分方程6/10/202110控制系统的微分方程[例2-1]：写出RC串联电路的微分方程。②①解：根据KVL定律由②：，代入①得：这是一个线性定常一阶微分方程。6/10/202111由②：，代入①得：这是一个线性定常二阶微分方程。①②[解]：据基尔霍夫电路定理：

5、输入输出LRCi[例2-2]：写出RLC串联电路的微分方程。6/10/202112[例2-3]求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。[解]：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。mfmFF图2图1根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。控制系统的微分方程6/10/202113[需要讨论的几个问题]：1、相似系统和相似量：可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的

6、系统也可以有相同形式的数学模型。相似系统和相似量[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。我们注意到例2-2和例2-3的微分方程形式是完全一样的。6/10/2021142、非线性元件（环节）微分方程的线性化在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性：（1）线性叠加原理：系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。（2）均匀性原理：输入输出域内保持比例因子不变非线性环节微分方程的线性化6/

7、10/202115若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)，若取某一平衡状态为工作点，如下图中的。A点附近有点为，当很小时，AB段可近似看做线性的。非线性环节微分方程的线性化AByx06/10/2021

8、163.线性系统微分方程的编写步骤：⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最