数学建模 自动控制 自动控制系统的数学模型

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1、第二章控制系统的数学模型本章主要内容:2.I2.22.32.42.5物理系统的数学模型非线性数学模型的线性化拉氏变换及其反变换典型环节及其传递函数系统方框图和信号流图Part2.1物理系统的数学模型2.1.12.1.22.1.3机械系统电气系统相似系统数学模型的定义建立数学模型的基础提取数学模型的步骤ExamplePart2.1.1数学模型的定义系统示意图系统框图Remember恒温箱自动控制系统?Part2.1.1数学模型的定义系统框图tu2uuanvut由若干个元件相互配合起来就

2、构成一个完整的控制系统。系统是否能正常地工作，取决各个物理量之间相互作用与相互制约的关系。物理量的变换，物理量之间的相互关系信号传递体现为能量传递（放大、转化、储存）由动态到最后的平衡状态--稳定运动Part2.1.1数学模型的定义数学模型：描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程解析法依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式，建立模型。实验法人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。建立数学模型的方法：数学模型的形式时间域：微分

3、方程差分方程状态方程复数域：传递函数结构图频率域：频率特性数学模型的准确性和简化Part2.1.2建立数学模型的基础机械运动：牛顿定理、能量守恒定理电学：欧姆定理、基尔霍夫定律热学：传热定理、热平衡定律微分方程（连续系统）差分方程（离散系统）线性与非线性分布性与集中性参数时变性机械运动系统的三要素机械运动的实质：牛顿定理、能量守恒定理阻尼B质量M弹簧KPart2.1.3提取数学模型的步骤划分环节写出每或一环节(元件)运动方程式消去中间变量写成标准形式负载效应根据元件的工作原理和在系统中的作用，确定元件的输入量和输出

4、量(必要时还要考虑扰动量)，并根据需要引进一些中间变量。由运动方程式（一个或几个元件的独立运动方程）划分环节按功能（测量、放大、执行）写出每或一环节(元件)运动方程式找出联系输出量与输入量的内部关系，并确定反映这种内在联系的物理规律。数学上的简化处理，（如非线性函数的线性化，考虑忽略一些次要因素）。写成标准形式例如微分方程中，将与输入量有关的各项写在方程的右边；与输出量有关的各项写在方程的左边。方程两边各导数项均按降幂排列。Part2.2非线性数学模型的线性化2.2.12.2.22.2.3常见非线性模型线性化问题的

5、提出线性化方法Example液面系统单摆Example液面系统单摆单变量多变量2.2.1常见非线性模型数学物理方程中的线性方程：未知函数项或未知函数的（偏）导数项系数依赖于自变量针对时间变量的常微分方程：线性方程指满足叠加原理叠加原理：可加性齐次性不满足以上条件的方程，就成为非线性方程。有条件存在，只在一定的工作范围内具有线性特性；非线性系统的分析和综合是非常复杂的。2.2.2线性化问题的提出可以应用叠加原理，以及应用线性理论对系统进行分析和设计。线性系统缺点：线性系统优点：线性化定义将一些非线性方程在一定的工作范

6、围内用近似的线性方程来代替，使之成为线性定常微分方程。2.2.3线性化方法以微小偏差法为基础，运动方程中各变量就不是它们的绝对值，而是它们对额定工作点的偏差。增量（微小偏差法）假设：在控制系统整个调节过程中，所有变量与稳态值之间只会产生足够微小的偏差。非线性方程局部线性增量方程增量方程增量方程的数学含义将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条件均为零。注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理。多变量函数泰勒级数法增量方程静态方程

7、单变量函数泰勒级数法函数y=f(x)在其平衡点（x0,y0）附近的泰勒级数展开式为：略去含有高于一次的增量∆x=x-x0的项，则：注：非线性系统的线性化模型，称为增量方程。注：y=f(x0)称为系统的静态方程Part2.3拉氏变换及其反变换2.3.12.3.22.3.3拉氏变换的定义拉氏变换的计算拉氏变换求解方程拉氏变换拉氏反变换Part2.3.1拉氏变换的定义设函数f(t)满足：1f(t)实函数；2当t<0时，f(t)=0；3当t0时，f(t)的积分在s的某一域内收敛则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为：

8、式中：s=σ+jω（σ，ω均为实数）；F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数;f(t)称为F(s)的原函数；L为拉氏变换的符号。拉氏反变换的定义其中L－1为拉氏反变换的符号。高等函数初等函数指数函数三角函数单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数单位加速度函数幂函数Part2.3.2.1拉氏变换的计算Part2.3.2.3拉氏变换的主要运算定理线性定理