自动控制系统的数学模型

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1、自动控制系统数学模型本章概述2.1动态微分方程式的编写2.2传递函数2.4系统动态结构图2.6系统传递函数的求取2.3典型环节的传递函数2.5系统结构图等效变换和化简本章重点本章介绍了建立控制系统数学模型和简化的相关知识。包括线性定常系统微分方程的建立、传递函数概念与应用、方框图及其等效变换、梅逊公式的应用等。通过本章学习，应着重准确掌握传递函数的概念及其求取方法、控制系统方框图的构成和等效变换方法、典型闭环控制系统的传递函数的基本概念和梅逊公式的应用。本章主要内容概述微分方程（时域数学模型）传递函数（复域数学模型）频

2、率特性（频域数学模型）动态结构图(几何模型)返回1.数学模型------描述系统变量之间关系的数学表达式2.建模的基本方法:(1)解析法(2)实验辩识法3.经典控制理论常用数学模型的主要形式:2.1系统的微分方程式步骤：1.确定系统输入量(给定量和扰动量)与输出量(被控制量,也称系统响应)2.列写系统各部分的微分方程3.消去中间变量,求出系统的微分方程4.将微分方程整理成标准形式。一、线性系统微分方程的建立图2-1RC电路例2.1编写如图2-1所示RC电路的微分方程式解:(1)确定输入、输出量ui(t)----输入量u

3、o(t)----输出量(2)列写微分方程（3）消去中间变量,可得电路微分方程式图2-2直流电动机电枢电路例2-2编写电枢控制的他激直流电动机的微分方程式(2)列写微分方程式：解：(1)确定输入量和输出量：取输入量为电动机的电枢电压ua，取输出量为电动机的转速n。（3）消去中间变量并予以标准化后得电枢回路的电磁时间常数：电动机的机电时间常数：若不考虑电动机的负载转矩TL，即设TL=0，则有返回1、叠加定理：两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。即L[f1(t)±f2(t)]=L[f1(t)±L[f2(t)

4、]=F1(s)±F2(s)复习拉普拉斯变换一、拉氏变换的定义二、拉氏变换的运算定理其中，原来的实变量函数f(t)——原函数变换后的复变量函数F(s)——象函数5、终值定理：2、比例定理：K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的倍。即L[Kf(t)]=KL[f(t)]=KF(s)3、微分定理：在零初始条件下4、延迟定理：L[f(t-τ)]=e-sτF(s)通过查表，已知原函数f(t)，可求得象函数F(s)；同理，已知象函数f(t)，可求得原函数F(s)。三、原函数和象函数之间的变换2.2控制系统的传递函数一、传递函数的定

5、义当初始条件为零时，输出量c(t)的拉氏变换式C(s)与输入量r(t)的拉氏变换式R(s)的之比。即二、传递函数的一般表达式设系统的输入量为r(t)，输出量为c(t)，则系统微分方程一般形式为当初始条件为零时，对方程两边取拉氏变换，有1、直接变换法先建立微分方程，然后在零初始条件下，对微分方程进行拉氏变换，即可根据传递函数的定义求得传递函数。根据传递函数的定义，得传递函数的一般表达式为：三、传递函数的求取方法解：初始条件为零时，拉氏变换为该电路的传递函数为式中——RC电路的时间常数。，求此电路的传递函数。例2-3图2-

6、1所示RC电路的微分方程式为解：在零初始条件下，对微分方程进行拉氏变换，有s2C(s)+10sC(s)+100C(s)=100R(s)根据传递函数的定义，有可见，只要将微分方程中的微分式d(i)/dt(i)换成相应的s(i)，即可求得传递函数。求此环节的传递函数。例2-4已知某环节的微分方程为在电工基础中，对于电阻、电感、电容，有电阻u=iR拉氏变换式为U(s)=I(s)R电感拉氏变换式为U(s)=LsI(s)电容拉氏变换式为I(s)=CsU(s)由以上讨论可见，将电工基础复数阻抗中的jω换成s即可。2、电路复阻抗法解

7、：例2-5用复数阻抗法求RC串联电路的传递函数。解：根据电子技术基础学过的知识，有Ii(s)+I(s)=If(s)又因为A点为虚地，即UA≈0，所以I(s)≈0，因此有所以例2-6求图2-3所示运算放大器的传递函数G(s)。四、传递函数的性质（1）传递函数和微分方程存在一一对应关系，对于一个确定的系统，微分方程是唯一的，其传递函数也是唯一的。（2）传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入信号的大小、形式无关。（3）传递函数是一种数学抽象，因此不能反映系统的物理结构。不同性质的物理结构，完全可以有相同的传递函数。（4

8、）传递函数的分母是它所对应的系统的微分方程的特征方程式。而特征方程的根反映系统动态过程的性质，所以由系统传递函数可以研究系统的动态特性。返回2.3典型环节的传递函数比例环节：其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示式中——环节的放大系数，为一常数。传递函数为：比例环节惯性环节惯性环节的传递函数可以写成如下表达式。现求输入量