自动控制系统的数学模型

《自动控制系统的数学模型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第3章自动控制系统的数学模型引言物理系统的建模——系统的微分方程传递函数及其图形表示法（框图）典型环节及其传递函数自动控制系统的框图（结构图）框图的等效变换，化简和系统的闭环传递函数引言——研究自动控制系统的方法与目的实际控制系统实际系统的组成框图建立各组成工作框的数学模型系统稳定性系统稳态性系统动态性找出改进系统的有效方法应用分析研究系统建模搞清系统的工作原理建立实际系统的数学模型是控制系统分析与设计过程中最为重要的一项工作。对控制系统的研究在很大程度上依赖于应用数学对系统数学模型的分析和研究。在经典自

2、动控制理论中，自动控制系统的应用数学是建立在拉氏变换的基础上的。3.1系统的微分方程描述一个控制系统的输入量和输出量之间的关系的最直接的数学方法是列写系统的微分方程（DifferentialEquationofSystems）。当系统的输入量和输出量都是时间t的函数时，其微分方程可以确切地描述系统的运动过程。微分方程是系统最基本的数学模型。自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的——即微分方程。建立系统微分方程的一般步骤全面了解系统的工作原理、结

3、构组成和支配系统运动的物理规律，确定系统的输入量和输出量。一般从系统的输入端开始，根据各元件或环节所遵循的物理规律，依次列写它们的微分方程。将各元件或环节的微分方程联立起来消去中间变量，求取一个仅含有系统的输入量和输出量的微分方程，它就是系统的微分方程。将该方程整理成标准形式。即把与输入量有关的各项放在方程的右边，把与输出量有关的各项放在方程的左边，各导数项按降幂排列，并将方程中的系数化为具有一定物理意义的表示形式，如时间常数等。一阶电路数学模型的建立根据KVL，有：把它们代入电路方程，可得到该一阶R

4、C电路输入与输出信号间的的微分方程：和再根据欧姆定律及电容元件上的电压电流的约束关系，有：+RC+-UCUsi我们取电容两端的电压为该一阶RC电路的输出电压模拟电路数学模型的建立解决这个问题的方法是：先将模拟电路按放大器的个数及输入输出关系分开；然后一级一级地写出其各自的电路方程；最后再找出其总的输入与输出之间的关系。利用虚短的概念，可知：由虚断的概念，可得：又因为：，所以代入上面相关的等式可得：对上式两边求导，可得：现在，我们将代入上面所求，在消去中间变量之后有：这是一个点型的反相比例运算放大器，由反相

5、比例运算公式可得：一个简单的机械系统的数学模型mfF(t)K这是一个弹簧—质量—阻尼器的机械位移系统。质量为m的物体在外力F（t）的作用下，移动了x（t）距离。F1(t)F2(t)由牛顿运动定律可得：3.2传递函数传递函数是在用拉氏（Laplace）变换求解微分方程的过程中引申出来的概念。微分方程这一数学模型不仅计算麻烦，并且它所表示的输入、输出之间的关系复杂而不明显。经过拉氏变换后，微分方程变成了一种代数方程，可以进行简单的代数运算。如果用简单的代数比值描述系统输入、输出之间关系，就建立了所谓传递函数这

6、一系统的数学模型。一般来说：如果系统的输入量为r(t)，输出量为c(t)，并且系统可以由下列微分方程描述:则在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换,可得：提出公因式，有：整理，得：因此，传递函数的定义可为：在初始条件为零时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。即：初始条件为零，是指输入量在t=0时刻以后才作用于系统，系统的输入量和输出量及其各阶导数在t＜0时的值也均为零。式中：K为常数,称系统的增益；Z1…为分子多项式的根,称为零点；P1…为分母的根,称为极点。零点与极点可为实数、虚数或复数(若

7、为虚数或复数,则必为共轭虚数或共轭复数)。传递函数G(s)=输出量的拉氏变换输入量的拉氏变换传递函数的性质传递函数和微分方程之间存在着一一对应的关系。传递函数只与系统本身内部结构、参数有关，它代表了系统的固有特性，是一种数学模型，称为系统的复数域模型。传递函数是一种运算函数。由可得传递函数的分母多项式，即为微分方程的特征方程。传递函数是一种数学模型，因此对不同的物理模型，它们可以有相同的传递函数。反之，对同一个物理模型(系统和元件)，若选取不同的输入量和输出量，则传递函数将是不同的。3.3传递函数的图形表

8、示法——框图框图（BlockDiagram）:是传递函数的一种图形表示方法，它可以形象地描述由传递函数定义的系统输出与输入之间的关系。尤其是当自动控制系统由几个环节组成时，这种图形表示更具有简明直观、运算方便的优点，所以在自动控制系统的分析中具有广泛的应用价值。G（S）R（S）C（S）图形表示法：根据传递函数的定义，以上图形表示的数学含义为：功能框信号线，其中的箭头表示了信号的流向用传递函数建立电路系统的数学模型——阻抗分析法