数学模型4-种群动力学

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1、第四章种群动力学(PopulationDynamics)•单物种模型•两物种竞争模型•捕食－被捕食模型种群动力学•种群：在某个地区物种的全部个体•种群动力学：种群大小随时间变化的规律•人口统计学（Demography）–个体数目和年龄–出生和死亡–影响人口增长的因素•生态学（Ecology）：种群个体分布模式以及这些模式形成的机制种群建模N=N+gains-lossest+1tpop.sizeonetimepop.sizeattime“t”unitpast“t”newN=previousN+births–deaths+immigration–emigrationN=N+B-D+

2、I-Et+1tintrinsicexchangewithotherpopulationsFrom：http://www.unc.edu/~welcha/ecology/lectures/种群建模N=N+gains-lossest+1ttosimplifypop.sizeonetimepop.sizeattime“t”things,unitpast“t”we’llfocusontheintrinsicnewN=previousN+births–deathsprocessesN=N+B-Dt+1tintrinsicFrom：http://www.unc.edu/~welcha/ec

3、ology/lectures/单物种种群增长模型•Malthus模型•Logistic模型Malthus模型•英国经济学家ThomasRobertMalthus(1766-1834).•EssayOnPopulation•HumanpopulationhasthepotentialtogrowfasterthanthefoodsupplyMalthus模型•假设生长率和死亡率是常数，则人口存在一个内禀增长率r=生产率－死亡率.•微分方程dN(t)=rN(t)dt•如果给定t时刻人口数目为N,那么方程解00为N(t)=N0exp[r(t¡t0)]Malthus模型•照此模型，可以

4、计算人口翻番所需要的时间T＝(ln2/r).•据统计，1961年地球总人口数为30.6亿，人口增长率为2%.用上述模型对比1700－1961年的数据惊人地吻合。•可以计算大约35年人口翻番，那么到2066年人口将达到240亿，地球将不堪重负。人口能够永远指数增长吗？•食物、空间匮乏•疾病•种群内部竞争•来自于其他种群的掠夺（动物间的捕食与被捕食关系）•……Logistic模型•考虑到个体成员之间为有限的空间、资源和食物而展开的竞争，在方程中增加一个“竞争项”.•竞争项：单位时间内两个成员发生冲突的次数与群体个数平方成正比,dN(t)2=aN(t)¡bN(t)dtLogistic

5、s模型•可变量分离方程ZZN(t)tdx=dt=t¡t0Nax¡bx2N0t0ZZN(t)t11b[+]dx=dt=t¡t0aN0xa¡bxt0•方程的解aN0N(t)=bN0+(a¡bN0)exp[¡a(t¡t0)]Logistic模型－解的性质•极限性质。人口趋向极限容量(Carryingcapacity),aN(t)!;t!+1b•单调性aN0<;N(t)increasemonotonously;baN0>;N(t)decreasemonotonously:bMalthus模型与Logistic模型Logistic模型•前苏联数学生物学家GeorgiiFrantsevit

6、chGause(1910-1986)对草履虫(Paramecium)进行了观测：5只草履虫个体放在试管内培养，数量不大时，以230.9%的速度增长，第四天达到375只的最高水平，375N(t)=1+74exp(¡2:309t)•这个公式与实际观测异常符合。相图方法（Logistic模型）•考虑导数的符号dN(t)2=aN(t)¡bN(t)dt•N=0,N=a/b时，导数为0，平行线；N(t)•N>a/b时，导数为a/b负，斜向下箭头；•N

7、(t)[¡2N(t)][¡N(t)]dt2bb•N>a/b时，导数为负，二阶导数为正，下凸单调降解曲线。•0