三个种群的数学模型

《三个种群的数学模型》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、三个种群关系的数学模型摘要：自然界中不同种群之间存在着一种非常有趣的既有依存、乂有制约的牛存方式：种群甲靠丰富的自然资源生长.而种群乙靠捕食种群甲为生.种群丙又靠捕食种群为生.类似的现象还存在很多。假设这种情况：在草原上栖息着羚羊和狮子，羚羊以草为食，狮子又以羚羊为食。由此建立描述三个种群数量变化规律的微分方程模型，分析平衡点稳定性。关键词：种群数解值平衡点一、问题重述自然界中不同种群之间存在着一种非常有趣的既有依存、又有制约的生存方式：种群甲靠丰富的自然资源生长。而种群乙靠捕食种群甲为生。种群丙又靠捕食种群为生.类似的现象还存在很多。假设这种情况：在草原上栖息着羚羊和狮子，羚羊以草为

2、食，狮子乂以羚羊为食。由此建立描述三个种群数量变化规律的微分方程模型，分析平衡点稳定性。二、模型假设1、假设在草原上只存在了草、羚羊和狮子三个物种。并且羚羊离开草，狮子离开羚羊无法生存。2、不考虑自然资源对草的生长的限制。羚羊和狮子都可以正常生长，没有其他原因可以使狮子和羚羊死亡。3、草的种子可以正常的生长，小羚羊也可以正常的生长。三'符号说明西(/):草在吋刻t的数量；x2(0:羚羊在时刻t的数量；(r):狮子在时刻t的数量；中草独立生存时以指数规律增长，相对增长率；r2：羚羊离开植物无法生存，它独自存在时的死亡率；厂3：狮子离开羚羊无法生存，它独自存在吋的死亡率；羚羊食草的能力；入

3、：草对羚羊的供养能力；希：羚羊对狮子的供养能力；A：狮子掠取羚羊的能力。环境容许的草的最人数量;n2：羚羊的最大容量；n3：狮子的最大容量；5：单位数量的羚羊（相对于N2而言）掠取5倍的单位数量的草量（相对于M而言）;

4、羚羊的存在使草的增长率减小.设减小的程度与羚羊数量成正比。于是草的模型为：石（/）=兀］（斤一人兀2）（1）比例系数入反映羚羊食草的能力。羚羊离开草无法生存.设它独自存在吋死亡率为厂2,即：x2（t）=-r2x2而草的存在乂为羚羊提供了食物。草的存在相当于使羚羊的死亡率降低。且促使羚羊增长。设这种作用与草的数量成正比。则有：兀2（"=无2（一G+入兀J比例系数乙反映草对羚羊的供养能力；羚羊又为狮子提供了食物。狮子的存在使羚羊的增长率减小。设减小的程度与羚羊的数量成正比，于是上式右端应减去狮子对羚羊增长的阻滞作用。于是羚羊的模型应为:(2)X2(Z)=X2(-?2+兄2石一严3)比例系数

5、“反映狮子掠取羚羊的能力。狮子离开羚羊无法生存。设它独自存在时死亡率为心，即x3(t)=-r3x3而羚羊的存在又为狮子提供了食物。相当于使狮子的死亡率降低。且促使狮子的增长。于是狮子的模型为：七，(0=心(一E+几3*2)(3)比例系数希反映羚羊对狮子的供养能力；方程(1)、(2)、(3)构成草、羚羊、狮子三者既依存又制约的数学模型：兀］(0=兀1(-斤+人兀2)

6、0)=花，兀2(°)=他，兀3(°)=X1(5)求方程组⑷及⑸的数值解x}(“,尢2(0,七⑴，并作图。设厂]=1,r2=0.5,r3=0.6,=0.1,A2=0.02,入二°・06.“二0.1,兀5=1OQ兀6=40,Xj—6oMatlab程序：M程序：functionf=funl(t,x);rl=l;r2=0.5;r3=0.6;lambdal二0.1;lambda2=0.02;lambda3=0.06;mu二0.1;f二[x(1)*(rITambdal*x(2));x(2)*(-r2+lambda2*x(1)一mu*x(3));x(3)*(-r3+lambda3*x(2))];在

7、Matlab窗口输入：随时间的变化，三个种群的数量的变化曲线。»[t,x]=ode45Cfunl[0,20],[100,40,6]);»plot(t,x(:,1),'一'，t,x(:,2),'，t,x(:,3),')>>legend('xl(t)','x2(t)','x3(t)')»grid»plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))>>grid从图中可以猜测西⑴宀⑴內⑴是周期函数，从数值解近似得出周期为6.25.用数值积分可以算