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《§6.5 晶体能带的对称性》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§6.5晶体能带的对称性一、En(k)函数的对称性引入描述点群对称操作的算符T()，其物理意义是对于任意函数f(r)，有其中，－1是的逆操作，其定义是－1r点经操作后变换到r点。晶体中电子运动的哈密顿量（单电子）为：将T()和H同时作用在任意函数f(r)上，由于2在正交变换下形式不变，而坐标旋转、反演、反映等都是正交变换，所以，而电子的势能函数U(r)应具有与晶格相同的对称性，即由于f(r)是任意函数，所以T()与H可对易由此可以可得一个推论：若n,k(r)是晶体波动方程的解，那么，T()n,k(r)也是方程的解，且
2、n,k(r)与T()n,k(r)有相同的能量本征值。在晶体中电子运动的本征态波函数为Bloch函数这里n为能带标记，k为简约波矢，对应的能量本征值为En(k)。将T()作用在n,k(r)上得，由于是正交变换，因此，有另外，由于也是以Rl为周期的周期函数，因此，可以改写为这表明，用T()作用在Bloch函数的结果只是将简约波矢k变换到另一个简约波矢k。根据上面的推论，它们应具有相同的能量本征值。所以，有这表明，在k空间中En(k)具有对称性，将取遍晶体点群的所有对称操作，上式都成立。于是，我们就证明了，在k空间中En(k)
3、具有与晶体点群完全相同的对称性。另外，由于在晶体中电子运动的哈密顿算符是实算符，H*＝H，所以，如果n,k(r)是方程的解，那么*n,k(r)也是方程的解，且这两个解具有相同的能量本征值。即在晶体中，另一方面，用－k取代k，得需要指出的是，这个结论不依赖于晶体的点群对称性，不管晶体中是否有对称中心，在k空间中En(k)总是有反演对称的。这实际上是时间反演对称性的结果。从以上讨论可以看出，对于同一能带，有来自于晶格的周期性来自于晶体的点群对称性来自于时间反演对称性PP’’P’kxky以二维正方晶格为例，二维正方晶格的点群是C4V(4mm
4、),所以，对于一般位置P，在简约区中共有8个点与P点对称相关。在这些点，电子都有相同的能量En(k)。因此，我们只需研究清楚简约区中1/8空间中电子的能量状态，就可以知道整个k空间中的能量状态了。我们将这部分体积称为简约区的不可约体积。依此类推，对于立方晶系的Oh(m3m)点群，只需研究(1/48)b即可。XZMkxky-/a/a-/a对于一般位置k，简约区中对称相关的波矢量数就等于点群的阶数。但若k在简约区中的某些特殊位置（对称点、对称轴或对称面）上，即在晶体点群中，存在某些对称操作，使得k=k或k=k+Gl这时，简约
5、区中等价波矢量数就少于点群的阶数。在二维正方晶格的简约区中，k有以下特殊位置：MXRZST简单立方晶格的简约区中k的特殊位置：二、自由电子的能带自由电子的能量为这里，k’为广延波矢，不一定在简约区中，但我们一定可以找到唯一一个倒格矢Gn’,使得k为简约波矢。1.一维情况k为简约波矢为简单，取k的单位为En(0)(k)的单位为第一能带：n=1，n’=0相应波函数：第二能带：n=2，n’=－1相应波函数：第三能带：n=3，n’=1相应波函数：2.二维情况：例：二维正方晶格的简约区中沿X（即kx）轴作出En(0)(k)曲线。为简单，
6、取kx、ky的单位为En(0)(k)的单位为XZMkxky-/a/a-/a在X轴上，ky=0(0,0)(1,0)(1,0)（1）1，(1,1)(0,1)(0,1)(1,1)(1,1)相应的波函数为显然，当n1和n2的绝对值最小时，相应的能量最低。（第一布里渊区）（单）相应的波函数：第一近邻倒格点：（单）波函数：（双）波函数：{（单）波函数：第二近邻倒格点：（双）相应的波函数：{（双）相应的波函数：{LXU,KLXU,KEnergy(eV)LXU,K§6.6能态密度和费米面一、能态密度1.定义能态密度：dSdk
7、kxkyEE+dEdZ为能量在E－E+dE两等能面间的能态数（考虑了电子自旋），即能态密度为能带中单位能量间隔内的电子能态数。dZ=2(k)(k空间中能量在E－E+dE两等能面间的体积)2.近自由电子的能态密度对于自由电子：在k空间中，能量为E的等能面是半径为的球面，在球面上考虑周期场的影响，在近自由电子情况下，周期场的影响主要表现在布里渊区边界附近，而离布里渊区边界较远处，周期场对电子运动的影响很小。以简单立方晶体为例，考察第一布里渊区中等能面的一个二维截面。在布里渊区边界面的内外侧附近各作一个自由电子的等能面（球面）。0QQ’PN
8、MM’在布里渊区边界面的内侧：对自由电子：EP(0)=EQ(0)考虑周期场的影响：EQ(0)↘EQ，EP(0)EP所以，EP>EQ在布里渊区边界面的外测：对自由电子：EN(0)=EM(0),
