晶体能带的对称性.ppt

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1、晶体具有对称性，因而晶体中电子的运动状态也会具有对称性，所以表述运动状态的本征能量和本征态也具有对称性，了解了这种对称性，对于我们理解能带性质、简化要处理的问题会很有帮助。比如在计算和绘制k空间的能带图时，就可以充分利用其对称性质。晶体的对称性包括点对称操作和平移对称性，它们都会反映到本征能量的对称性上。晶体能带的对称性和晶格振动色散关系所具有的对称性相同，我们可以参照理解。一.En(k)函数的对称性En(k)图示自由电子的能带见黄昆书4.6节p2026.7晶体能带的对称性一、En(k)函数的对称性Bloch定理一节中曾指出简约波矢

2、k表示原胞之间电子波函数位相的变化，如果k改变一个倒格矢量，它们所标志的原胞之间波函数位相的变化是相同的，也就是说k和k+Gh是等价的，从这点出发我们也可认为是k空间的周期函数，其周期等于倒格矢。简约波矢的取值范围就是倒易空间的Wigner-Seitz原胞，即第一布里渊区内。我们利用这种平移对称性可以将第二Brillouin区的每一块各自平移一个倒格矢而与第一Brillouin区重合。同理，更高的Brillouin区也可通过适当的平移与第一区重合，因此我们可以把注意力仅限制在第一区内，它包含了晶体能带的所有必要信息。应特别注意，这个

3、表达式只是对同一能带才正确。1.平移对称性正方晶格的头三个布里渊区。一、三两章已经讲过。该式表明能带与晶格有相同的对称性。为晶体所属点群的任一点对称操作。证明如后：点群对称性2.应为具有同样本征值的另一本征函数。设nk(r)为晶体哈密顿量的本征函数，本征值为En(k)。由于晶体在所属点群操作下保持不变，则点群操作作用于本征函数的结果，又由于晶体点群操作应保持点乘积不变，则有：因此有：n(r)是本征函数之一，所以可以写成：所以n(r)的波矢标记应该是：从而有：从上式可得有-1k和k所对应的能量本征值相等，即有：由于-1遍

4、历晶体点群的所有的对称操作，所以有：证毕。这表明，在k空间中En(k)具有与晶体点群完全相同的对称性。这样就可以在晶体能带计算和表述中把第一布里渊区分成若干个等价的小区域，只取其中一个就足够了。区域大小为第一布里渊区的1/f，f为晶体点群对称操作元素数。如三维立方晶体f=48。原胞是晶体点阵的最小重复单位，因此点阵具有的点群对称性全部反映在原胞中是能够理解的。在晶体中电子运动的哈密顿算符是实算符，H*＝H。如果nk(r)是方程的解，那么*nk(r)也是方程的解，且这两个解具有相同的能量本征值。即有3.反演对称性同时按照Bloch

5、定理有：因此，nk(r)和n-k(r)能量是相同的。这个结论不依赖于晶体的点群对称性，不管晶体中是否有对称中心，在k空间中En(k)总是有反演对称的。这实际上是时间反演对称性的结果。PP’’P’kxky以二维正方晶格为例，二维正方晶格的点群是C4V(4mm),所以，对于一般位置P，在简约区中共有8个点与P点对称相关。在这些点，电子都有相同的能量En(k)。因此，我们只需研究清楚简约区中1/8空间中电子的能量状态，就可以知道整个k空间中的能量状态了。我们将这部分体积称为简约区的不可约体积。依此类推，对于立方晶系的Oh(m3m)点群

6、，只需研究(1/48)b即可。减少在确定、计算能带时所要做的工作是对称性研究的意义之一。二、En(k)图示XZMkxky-/a/a-/a对于一般位置k，简约区中对称相关的波矢量数就等于点群的阶数。但若k在简约区中的某些特殊位置（对称点、对称轴或对称面）上，即在晶体点群中，存在某些对称操作，使得k=k或k=k+Gl这时，简约区中等价波矢量数就少于点群的阶数。在二维正方晶格的简约区中，k有以下特殊位置：线线线MXRZST简单立方晶格的简约区中k的特殊位置：线线线线线线三、自由电子的能带自由电子的能量为这里，k’

7、为广延波矢，不一定在简约区中，但我们一定可以找到唯一一个倒格矢Gn’,使得k为简约波矢。1.一维情况k为简约波矢为简单，取k的单位为，En(0)(k)的单位为第一能带：n=1，n’=0相应波函数：第二能带：n=2，n’=－1相应波函数：第三能带：n=3，n’=1相应波函数：1232.二维情况：例：二维正方晶格的简约区中沿X（即kx）轴作出En(0)(k)曲线。为简单，取kx、ky的单位为En(0)(k)的单位为XZMkxky-/a/a-/a在X轴上，ky=0(0,0)(1,0)(1,0)（1）1，(1,1)(0,1

8、)(0,1)(1,1)(1,1)相应的波函数为显然，当n1和n2的绝对值最小时，相应的能量最低。（第一布里渊区）（单）相应的波函数：第一近邻倒格点：（单）波函数：（双）波函数：{（单）波函数：第二近邻倒格点：（双）相应的波函数：{（双