0348《数理统计》【随堂练习】(3)

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1、0348《数理统计》【随堂练习】（3）2010-12-1908:30:00--09:50:001　设总体服从参数为（N，p）的二项分布，其中（N，p）为未知参数，为来自总体的一个样本，求（N，p）的矩法估计。答：1　因为，只需以分别代解方程组得。2　设总体服从[a，b]上的均匀分布其中a，b为两个未知参数，样本来自总体，求未知参数a，b的矩法估计。答：2　由服从[a，b]上的均匀分布，易知为求a，b的矩法估计量只需解方程组得。3　设连续型总体的概率密度为，来自总体的一个样本，求未知参数的极大似然估计量，并讨论的无偏性。答：3　似然函数为　　其

2、中因此的极大似然估计量是的无偏估计量。4　设总体的概率密度为其中为未知参数，样本来自总体，求未知参数的矩法估计与极大似然估计。答：4　首先求数学期望从而解方程得的矩法估计为。似然函数为令解得的极大似然估计为。5　设是取自正态总体的一个容量为的样本，试证下列三个估计量都是μ的无偏估计量：，并指出其中哪一个方差较小。答：5　由于且独立，故有　　故它们均为μ的无偏估计，又由于1/2<5/9<5/8，所以第三个估计量的方差最小。 6　设是取自正态总体的一个样本，试证是的相合估计。答：6　由于服从自由度为n-1的-分布，故　　　　　　　　　　　　　　从

3、而根据车贝晓夫不等式有所以是是的相合估计。7　设是取自具有下列指数分布的一个样本，，证明是θ的无偏、相合、有效估计。答：7　首先由于，故，即样本均值是θ的无偏估计。　　又故C-R下界为，因此样本均值是θ的有效估计　　另外由车贝晓夫不等式所以样本均值还是θ的相合估计。8　设是独立同分布随机变量都服从几何分布则是θ的充分统计量。答：8　由于的联合密度函数为则由因子分解定理知是θ的充分统计量。9　设是独立同分布随机变量，其分布是均匀分布，其密度函数试证（1）是θ的无偏估计；（2）是θ的UMVUE。答：9（1）由知是θ的无偏估计；　　（2）则由因子分

4、解定理知是θ的充分统计量，其密度函数为又若，则即，两边对θ求导得故，所以是完备充分统计量，由此得出是θ的UMVUE。10　随机地从一批钉子中抽取16枚，测得其长度（以厘米计）为2.142.102.132.152.132.122.132.102.152.122.142.102.132.112.142.11设钉长服从正态分布，试求总体均值的0.9的置信区间。（1）若已知σ=0.01（厘米），（2）若σ未知。答：10（1）置信度0。9，即α=0。1，查正态分布数值表，知即所以总体均值的0。9的置信区间为　　（2）σ未知置信度0。9，即α=0。1，自

5、由度n-1=15，查t-分布的临界值表所以置信度为0。9的μ的置信区间是11　某农场为了试验磷肥与氮肥是否提高水稻收获量，任选试验田18块，每块面积1/20亩进行试验，试验结果：不施肥的10块试验田的收获量分别为8.6，7.9，9.3，10.7，11.2，11.4，9.8，9.5，10.1，8.5（单位：市斤），其余8块试验田在插种前施加磷肥，播种后又追施三次氮肥，其收获量分别为12.6，10.2，11.7，12.3，11.1，10.5，10.6，12.2。假定施肥与不施肥的收获量都服从正态分布，且方差相等，试在置信概率0.95下，求每1/2

6、0亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产的幅度。答：11　设正态总体分别表示施肥和不施肥的每1/20亩的水稻收获量，据题意，有对1-α=0.95，即α=0.05，查t分布表（自由度为n+m-2=16），得，于是所以在置信概率0。95下，求每1/20亩的水稻平均收获量施肥比不施肥增产0.6到2.8市斤。12　岩石密度的测量误差服从正态分布，随机抽测12个样品，得S=0.2，求的置信区间（α=0.1）。答：12　n=12，α=0.10，s=0.2查分布表（自由度为n-1=11），得因此所以的置信区间为[0.022335，0.09628]。13　随机地

7、取某种炮弹9发做试验，得炮口速度的样本标准差为11（米/秒）。设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹速度的标准差σ的0.9的置信区间。答：13　求方差的置信区间：S=11置信度0。9，即α=0。1，自由度n-1=8，　　查分布的临界值表，得，所以，置信度为0。9的炮口速度的标准差σ的置信区间是14　设A，B二化验员独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定，其测量值的修正方差分别为，设和分别为所测量的数据总体（设为正态总体）的方差，求方差比/的0.95的置信区间。答：14　1-α=0.95，α=0.05故方差比/的0。95的置信区间为

8、[0.222，3.601]。15　设总体服从均匀分布U[0，θ]，其中θ为未知参数，样本来自总体，，试在置信概率1-α下，利用，求θ的形如[0，z]的置信区间。答：