以复变函数求解一元三次方程式的根

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1、以複變函數求解一元三次方程式的根Solvingrootsofcubicequationusingcomplexvariable一、理論推導：若給定一個一元三次方程式：（1）將（1）同除可化簡成：（2）其中、與均為實數。在以平移的概念將代入（2），則可得：（3）此式型態與三角函數中的三倍角公式相似：（4）（5）故需將（3）式中的假設成此型式，便可利用複變函數的觀念將此一元三次方程式代入正弦或餘弦的三倍角公式。然而未必等於，為了實現此想法則需再利用複數伸縮的觀念將代入（3）式，而得：19即：（6）其中若，則將變成實數。若，則將變成複數，透過此複數伸縮的操作，可將一元三次方程式轉變成三角複變問

2、題，便可求解：（7）（8）其反函數分別為：（9）（10）故利用（9）與（10）式可推得的三個解，再利用與；以及的關係逐一逆推，即可得此一元三次方程式的三根。以上是將一元三次方程式透過伸縮平移與正餘弦三倍角公式來求解，由於雙曲三角函數與三角函數相似，故嘗試是否可以利用雙曲正餘弦來求解首先利用雙曲三角函數中的三倍角公式19（11）（12）（11）（12）相似於（6）式中的即便將一元三次方程式轉變成雙曲函數問題其反函數為（15）（16）故利用（15）與（16）式可推得的三個解，再利用與；以及的關係逐一逆推，即可得此一元三次方程式的三根。19伸縮令三倍角公式平移反三角函數逆推求其三根解一元三次方

3、程式流程圖19三、範例說明範例一、：令則原式可轉化為：可得：、、則：範例二、首先令代入上式化簡後得：令，可得知：19假設，則，可將上式轉化成令，則原式變為：可得知：利用複數伸縮可得知：利用平移可得知：.若改令，則原式變為：則：同理依序可得知：19若改令，則原式變為：則：同理依序可得知：若改令即,，，可將上式轉化成原式變為則：19同理依序可得知：範例三、：首先令代入上式化簡後得：令，可得：假設，則，可將上式轉化成令，則原式變為：則：19可知：利用複數伸縮可得知：利用平移可得知：若改令，則原式變為：則：19可知：利用複數伸縮可得知：利用平移可得知：若改令，則原式變為：則：19可知：利用複數伸

4、縮可得知：利用平移可得知：若改令即，，可將上式轉化成原式變為19則：可知：利用複數伸縮可得知：利用平移可得知：以上三例，均為實係數方程式透過三個根得平移及複數伸縮操作求其三個根，故嘗試此方法是否可以解複數方程式。19範例四、首先令代入上式化簡後得：令，可得：假設，則=可將上式轉化成令，則原式變為：則：可知：利用複數伸縮可得知：19利用平移可得知：令，則原式變為：則：可知：利用複數伸縮可得知：利用平移可得知：19綜整以上四例，依照，，，其求解過程與三個根得平移及複數伸縮操作，並且整理成表如下。實係數一元三次方程式複數一元三次方程式範例一範例二範例三範例四NA伸縮NA伸縮伸縮19平移NA平移

5、平移實係數一元三次方程式複數一元三次方程式範例一範例二範例三範例四NA19伸縮NA伸縮伸縮平移NA平移平移實係數一元三次方程式複數一元三次方程式範例一範例二範例三範例四NA19伸縮NA伸縮伸縮平移NA平移平移實係數一元三次方程式複數一元三次方程式範例一範例二範例三範例四19NA伸縮NA伸縮伸縮平移NA平移平移19