01第一讲__极限及其相关问题

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1、第一讲函数、极限与连续考纲要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限.9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别

2、函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.一、函数问题1如何求函数的定义域？答求定义域的步骤是：⑴根据运算要求（如分式要求分母不等于零，开偶次方要求被开方数大于等于零，对数要求真数，反正弦要求等）列不等式（组）⑵解不等式（组）例⑴已知，，，求的定义域；⑵设，，求的定义域.问题2已知函数，如何求复合函数？答用代入法，即以代替中的，就可以求出.例⑴已知求；⑵设，求.问题3已知复合函数，如何求函数？答用换元法，即令，代入，求出，就可以求出.例⑴已知，求；⑵设，求.问题4已知函数，如何求

3、其反函数？答求反函数的步骤是：先由解得，再交换，得其反函数.14例⑴求的反函数；⑵求的反函数.问题5如何将表示成分段函数的形式？答关键是找出分段函数的分段点，的分段点是使的点，的分段点是使的点，的分段点是使取整数的点，的分段点是使的点.例将下列函数表示成分段函数：⑴；⑵.问题6叙述函数有界性、单调性、奇偶性、周期性的定义.答⑴有界性：设函数在上有定义，如果存在，使得，都有，则称在上有界.⑵单调性：设函数在区间上有定义，如果，当时，总有，则称在上是递增的.如果，当时，总有，则称在上是递减的.⑶奇偶性：设函数的定义域关于原点对称，如果，总有，则称是偶函数，如果，总有，则称是奇函数.⑷周期

4、性：设函数的定义域为，如果存在，使得，都有，则称是周期函数.问题7叙述基本初等函数和初等函数的定义.答基本初等函数是指：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，读者要会画它们的图形，并通过图形记住它们的性质.初等函数：由常数和基本初等函数通过有限次四则运算，有限次函数复合得到的，能用一个式子表示的函数称为初等函数.二、极限问题8如何理解极限的定义？答极限的定义很多，但主要的是以下四个：定义1当时，有.定义2当时，有.14定义3当时，有.定义4当时，有.以为例，表示自变量时，相应的函数值无限接近一个常数，即与的距离可以任意小，也就是说，只要和接近到一定程度，就可以小于任何正数

5、，即当时，有或者.取，有，得局部有界性；若，取，有，得局部保号性；若，取，则有，由此可见，函数的极限反映的是函数的局部性态.2.左右极限左极限，右极限.问题9极限与左右极限有何关系？哪些情形下要求左右极限？答极限与左右极限的关系是：.求分段函数分段点的极限时，如果分段点两側函数表达式不同时，要求左右极限，此外，型极限要求左右极限.例⑴设  求；⑵求.14问题10叙述极限的性质.答数列极限的性质如下：性质1（唯一性）如果数列收敛，则它的极限是唯一的.性质2（有界性）如果数列收敛，则数列一定有界.由此可得：无界数列必发散.性质3（保号性）如果且，则存在，.由此可得：如果，且，则.性质4（

6、子数列的收敛性）如果数列收敛于，则它的任一子数列也收敛于.特别，若，则函数极限的性质如下：性质1（唯一性）如果存在，则极限是唯一的.性质2（局部有界性）如果存在，则在某内有界.性质3（局部保号性）如果且，则在某内，.推论如果，且在某内，，则.性质4（函数极限与数列极限的关系）设存在，且，则.例有界数列是否一定收敛？说明理由.答收敛数列必有界，但有界数列不一定收敛，例如摆动数列有界，但是不收敛.问题11⑴若而不存在，有何结论？14⑵若，,而，有何结论？答⑴若而不存在，则不存在.⑵若，,而，则不存在.请读者用反证法证明之.读者可以利用上述结论证明不存在.问题12叙述极限的运算法则.答极限

7、运算法则是极限运算的理论基础，正确使用法则才能求出正确的结果. 常用的极限运算法则有：定理1（极限的四则运算法则）设函数和在点有极限，则⑴；⑵,其中为常数；⑶；⑷,其中.定理2（复合函数的极限运算法则）设，，且在点的某去心邻域内有，则复合函数当时的极限存在，且.定理3（幂指函数极限法则）设，，则.定理4（洛必达法则）如果（1）为或者型；（2）存在或者为无穷大，则=.问题13⑴若，存在，问是否存在？14⑵若，存在，问是否存在？答⑴若，存在，一定存在，因为由极