第01章02数列极限.doc

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1、第2节数列极限2.1数列定义有开始无结束、无穷无尽的一列数称为一个数列。其中每个数都是此数列的一项，称为一般项（通项）。关于一般项（1）随变而变；（2）清楚了则整个数列也就清楚了。因此此数列也记为。数列的例子定义2.1如果存在使得则称有上（下）界。如果既有上界又有下界，则称有界。有（上、下）界数集有（上、下）界。定义如果，则称单调增加（减少）。单调增加单调减少统称单调。定义2.2不改变顺序从数列中取出一个数列称为原来数列的子数列。子——部分。关于子数列的下标：（1）；（2）。思考题：1.是否是的一个子列？（是）2.试

2、比较与的大小．2.1数列的极限随变而变，让，我们细心地观察有上例子中的变化趋势。当时，对于蓝色部分的某个数列，无限地接近某个固定的常数；红色部分的数列则不然。如果，当时无限地接近某个固定的常数，我们就说以为极限，记为。是的简写。关于数列极限的同义语：1、以为极限，记为。2、当时无限地接近。3、无论你要求与多么接近，只要足够大就保证与那么接近。4、无论你要求多么小，只要足够大就保证那么小。5、对于任意给定的（不管多么小），存在，只要就保证。以上4句同义语中，只有第4句具有我们需要的可计算、可证明性。我们就用第4句作为数

3、列极限的定义。定义2.3设。如果对于任意给定的，存在，只要就保证则称以为极限（有极限），记为。此时说收敛，否则说发散。关于定义2.3：（1）先给定，后有。对于不同的可能也不同。如果存在则存在无穷多个。（2）如果对于小的有保证，那么对于大的也有保证。因此，从“保证”的角度考虑，着眼小的。如果小的有保证，那么大的它也有保证。因此，从“保证”的角度考虑，取大的。（3）从定义2.3看，有没有极限以及极限是多少，与无关，只与的尾巴有关。（4）。即有极限时的尾巴都落进了的邻域中。（5）（解释与课本定义的差异。）题目：1、给定和，

4、证明；2（考点）、给定，计算。（以后讲每一方面的内容后，我都给出一些相关的题目，然后给出它们的解法。希望同学们能一一掌握。）证明的方法和格式：证、，（在草稿中解不等式解出。）取。当时，（参考草稿内容正确推出。）故。（草稿是自己看的、不交老师的！！）证明的例子:1、证明。证、。，取。当时，故。草稿：2、证明。证、，取。当时，故。草稿：3、设。证明。证、，取。当时，故。草稿：。只要有保证那么也有保证。从解出。4、证明。证、，取。当时，故。草稿：第1章集合5、证明。19第1章集合证、，取。当时，故。草稿：19第1章集合思考

5、题：3.下面表述能否作为的定义？为什么？(1)对于某个给定的，，当时，恒成立；(2)对于无穷多个给定的，，当时，恒成立；(3)对于任意给定的，，当时，有无穷多项，使成立；(4)对于任意给定的，数列中只有有限多项不满足；(5)对于任意给定的，，当时，恒成立（为一正常数）；(6)对于任意的正整数，，当时，恒成立．4.如何给出的定义？【例2.4】　设有数列．证明：若极限存在，则算术平均值的数列的极限也存在且19第1章集合.证设．考虑,对,因为,所以有正整数，使（已固定，把作为极限的）。于是，（已固定，因此中的分子是常数）再

6、取正整数足够大，使当时，右边第一项也小于，这样，当时，就会有,即证明了极限.计算是我们的重点题目是考点。做这个题目需要我们慢慢积累一些知识和技巧。我们先讲极限的性质和四则运算法则。2.3数列极限的性质性质1（唯一性）如果有极限则极限是唯一的。（分析：假设有两个不相等的极限和，取足够小的使得，的尾巴不能同时落在和19第1章集合中，矛盾。）证、反证法。设都是的极限。对于，由于是的极限，存在使得；由于是的极限，存在使得。取，当时应有。矛盾。（在证明中，是要得出矛盾的最大。）19第1章集合性质2（有界性）如果有极限则有界。证

7、、存在。对于，存在正整数使得当时有，解得。因此，当时。取，就有故有界。性质2的逆否：如果无界则发散。例：发散。发散。注意：性质2说有极限的数列一定有界。但是，有界的数列不一定有极限。例如：。性质3（保号性）如果，则存在使得，当时就有证、设。对于，存在使得，当时就有，解得时的证明完全类似。（以后我们就会知道，离0有没有一段距离是重要的。）19第1章集合推论如果存在使得，当时有且存在，则。证、反证法。假设。根据性质3，存在使得，当时就有。当时，矛盾。注意：尽管也不能保证。例子：。性质4（归并性）的充要条件是的任意子数列都

8、有同一个极限。证、充分性。设的任意子数列都有同一个极限。是自己的一个子数列。所以。必要性。设。设是的随便一个子数列。，由，存在使得当时有当时，因此此时故。归并性的逆否：如果有一个子数列发散或有两个极限不等的子数列，则发散。归并性的特别：。以上逆否和特别是以后最常用的。P24例2.6设。因为，所以发散。19第1章集合2.4数列极限的四则运算法则定