01第一讲 极限及其相关问题

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1、北京考研为你铺就考研的成功之路！名师荟萃，亲临授课，传授你考研高分的秘籍。中南大学报名咨询电话：13875884156第一讲函数、极限与连续考纲要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立简单应用问题的函数关系.2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6.掌握极限的性质及四则运算法则.7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极

2、限的方法.8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限.9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.一、函数问题1如何求函数的定义域？答求定义域的步骤是：⑴根据运算要求（如分式要求分母不等于零，开偶次方要求被开方数大于等于零，对数要求真数，反正弦（反余弦）要求等）列不等式（组），⑵解不等式（组）.例题⑴已知，，，求的定义域.【】⑵设，，求的定义域.【】问题2已知函数，如何求复合函数？答

3、用代入法，即以代替中的，就可以求出.例题⑴已知求.【】⑵设，求.【】问题3已知复合函数，如何求函数？政治名师：张俊芳史春林陈先奎杨泽海雷雨张纹梁峰等（哲学泰斗、阅卷组长、命题成员全汇集）英语名师：王轶群郑景婷王文柯李勇全等（英语测试学、教育学博士、问卷组长全部汇集）数学名师：邓泽华李林李国斌等（大纲制定者、阅卷组长、真题评审专家全部汇集）北京考研为你铺就考研的成功之路！名师荟萃，亲临授课，传授你考研高分的秘籍。中南大学报名咨询电话：13875884156答用换元法，即令，代入，求出，从而求出.例题⑴已知，求.【】⑵设，求.【】问题4函数与反函数有何关系？已知函数，如

4、何求其反函数？答函数的定义域、值域分别为其反函数的值域、定义域；函数与其反函数的图形对称于直线.求反函数的步骤是：先由解得，再交换，得其反函数.例题1.求的反函数.【】2.求的反函数.【】问题5如何将表示成分段函数的形式？答关键是找出分段函数的分段点，的分段点是使的点，的分段点是使的点，的分段点是使取整数的点，的分段点是使的点.例题将下列函数表示成分段函数：⑴.【】⑵.【】问题6叙述函数有界性、单调性、奇偶性、周期性的定义.政治名师：张俊芳史春林陈先奎杨泽海雷雨张纹梁峰等（哲学泰斗、阅卷组长、命题成员全汇集）英语名师：王轶群郑景婷王文柯李勇全等（英语测试学、教育学博

5、士、问卷组长全部汇集）数学名师：邓泽华李林李国斌等（大纲制定者、阅卷组长、真题评审专家全部汇集）北京考研为你铺就考研的成功之路！名师荟萃，亲临授课，传授你考研高分的秘籍。中南大学报名咨询电话：13875884156答⑴有界性：设函数在上有定义，如果存在，使得，都有，则称在上有界.⑵单调性：设函数在区间上有定义，如果，当时，总有，则称在上是递增的.如果，当时，总有，则称在上是递减的.⑶奇偶性：设函数的定义域关于原点对称，如果，总有，则称是偶函数，如果，总有，则称是奇函数.⑷周期性：设函数的定义域为，如果存在，使得，都有，则称是周期函数.例题1.设函数，则是（）.（A）

6、偶函数（B）无界函数（C）周期函数（D）单调函数【B】2.判断下列函数的奇偶性：⑴.【偶函数】⑵.【奇函数】问题7叙述基本初等函数和初等函数的定义.答基本初等函数是指：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数.读者要会画它们的图形，并通过图形记住它们的性质.初等函数：由常数和基本初等函数通过有限次四则运算，有限次函数复合得到的，能用一个式子表示的函数称为初等函数.二、极限问题8如何理解极限的定义？答极限的定义很多，但主要的是以下四个：定义1当时，有.定义2当时，有.定义3当时，有.政治名师：张俊芳史春林陈先奎杨泽海雷雨张纹梁峰等（哲学泰斗、阅卷组长、命题成员

7、全汇集）英语名师：王轶群郑景婷王文柯李勇全等（英语测试学、教育学博士、问卷组长全部汇集）数学名师：邓泽华李林李国斌等（大纲制定者、阅卷组长、真题评审专家全部汇集）北京考研为你铺就考研的成功之路！名师荟萃，亲临授课，传授你考研高分的秘籍。中南大学报名咨询电话：13875884156定义4当时，有.以为例，表示自变量时，相应的函数值无限接近一个常数，即与的距离可以任意小，也就是说，只要和接近到一定程度，就可以小于任何正数，即当时，有或者.取，有，得局部有界性；若，取，有，得局部保号性；若，取，则有，由此可见，函数的极限反映的是函数的局部性态.例题“对任意给定的，总存