导数在高中物理教学中的应用

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1、导数在高中物理教学中的应用导数基本运算法则两函数积的求导法则:如果导数的定义:如果则复合函数求导法则:如果则则一.利用导数求速度和加速度速度和加速度分别代表位移对时间和速度对时间的变化率,瞬时速度和瞬时加速度可以表示为:例:一个物体作直线运动,其位移对时间的变化规律为,试求物体运动的加速度和初速度?初速度是指t=0时刻的速度,将t=0代入上式有:解:由瞬时速度和加速度的定义有:变式练习：一物体从450m空中自由下落下落距离满足1.物体下落5秒钟后的速度2.当物体落地时的速度二.利用导数求感应电动势感应电动势是表示磁通的变化率,它可以用数学表示为:其

2、中前一部分表示由面积发生改变而引起磁通的变化产生的感应电动势,后一部分是由于磁感应强度的变化而引起磁通的改变产生的感应电动势.分3种情况来讨论:1.当面积S不发生改变时(即感生电动势)2.当磁感应强度B不变时,即导体在匀强磁场中切割磁感线运动的情况(动生电动势).3.线圈在匀强磁场中的转动,假设此时B和S均不发生改变而只有磁感应强度B与面积S之间的夹角θ发生均匀变化例.所示:两根平行金属导线固定在水平桌面上,每一根导轨每米长的电阻值为0.10,导轨的端点P、Q用电阻可以忽略不计的导线相连,两导轨的距离为l,有随时间变化的匀强磁场垂直于桌面,已知磁感应

3、强度B与时间t的关系为B=kt,比例系数为k=0.02,一电阻不计的金属杆可以在导线上无摩擦地滑动,在滑动过程中保持与导轨垂直,在t=0时刻,金属杆紧靠在P、Q端,在外力作用下,杆以恒定的加速度从静止开始向导轨和另一端滑动,求在t=6.0秒时金属杆所受到的安培力.aPQ解:要求出6秒时刻的安培力,即要求出6秒时的磁感应强度、电阻、速度、面积。而此题产生感应电动势有两个方面，一是导体在切割磁感线运动，另一个是由于磁场本身的变化引起的感应电动势。因此有：设加速度为a，则有:磁感应强度速度面积电阻即：变式练习：假设一个闭合线圈的磁通量为φ=3sin5t+4

4、cos5t,求感应电动势的最大值。解：根据电磁感应定律ε==-15cos5t+20sin5t=25sin(5t-arctan0.75),所以感应电动势的最大值为25V。三.利用导数求瞬间电流电流的定义为:在含电容器的电路中应用比较广泛.pv例.如图所示，将平行板电容器接在电源两端,现将两个极板匀速拉开的过程中，则:A.Ｐ点有恒定的电流流过，方向向右B.Ｐ点有恒定的电流流过，方向向左C.Ｐ点有变化的电流流过，方向向右D.Ｐ点没有电流流过本题的电容器的表达式简化为：其中x为两板之间的距离其中ｋ是一个与充入电介质和正对面积有关的常数。定义式为：平行板电容器

5、拉开的速度可表示为：其中ｘ为两板之间的距离.现将上面几个公式代入电流的计算式有：显然。电流不是常数，而是随着距离的增大而急剧减小的，至于负号的出现，是说明了电容器板上的电荷是在变少的，而不是增多。故答案选C.B变式练习.导轨宽度为l,里面有磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过,质量为m的导体棒,在重力作用下竖直向下运动,假设在下滑的过程中导体棒和导轨间保持良好接触,且不计一切摩擦,电容器的电容为C,证明:导体棒在下降的过程中将作匀加速直线运动.解:要求加速度必求安培力，求安培力必求感应电流，则导体棒中的电流可表示为:物体加速度可表示为:则有:所以:是一个

6、不变的常数.因此物体将作匀加速直线运动.四.利用导数对连接体进行速度的分解连接体之间往往存在位移关系,可以对位移求导求出速度之间关系例.如图所示:现在防盗门窗有一种合页构件是由两个菱形构成.右边施加一个力可以使其左右收缩，两个菱型的边长之比为2:1,其中O、B、A、M、N、P、Q处为绞接点，在外力作用下,端点A向右运动时，A点的速度和B点的速度之比为多少?FOMPNABQFOMPNABQ解:设PO长度为2d,则AN长度为d,PO与水平方向的夹角为α则,在此题中α是变量,两式相除有:变式练习：如图，汽车通过滑轮提一个重物,已知汽车作匀速直线运动,其速度

7、大小为,求重物的运动状态如何?V0Bm解:因为两个速度可表示为:其中两者有关系有:(由于是对时间求导,故还必须有）两个表达式对时间求导有:两式相除有:根据上式：由于θ渐渐变小，故重物速度越来越大，但不是匀加速