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1、目录摘要IIAbstractII1引言12预备知识13不定积分的解法13.1直接积分法13.2换元积分法13.3分部积分法53.4其它解法54不定积分一题多解例析85结束语10致谢语10参考文献11指导教师评语评阅人评语.II不定积分的一题多解摘要：不定积分是数学分析中的重要内容,也是解决理工、经管、农医等专业课中诸多问题的重要工具.本文介绍了不定积分的若干解法,举例说明一个不定积分可以有多种解法,应择优选用.关键词：不定积分;直接积分法;换元积分法;分部积分法;一题多解MultipleSolutionstoaProblemofIndefiniteI
2、ntegralAbstract：Indefiniteintegralisthemathematicalanalysisofimportantcontent,isalsoanimportanttooltosolvethePolytechnic,administered,agriculturalandotherspecializedcoursesinmanyhealthproblems.Thisarticledescribesseveralindefiniteintegralsolution,illustrateanindefiniteintegralc
3、anhavemultiplesolutionsshouldbebasedonmerit.Keywords：indefiniteintegral;directintegrationmethod;integratormethod;integrationdivision;multiplesolutionsforonequestionII1引言不定积分的求解方法技巧性很强,灵活性也比较大,而且对于同一个不定积分可能有多种不同的求解方法,通过多种解法的练习,不仅能巩固基本知识,掌握基本技能技巧,而且有助于培养全面分析问题的能力,培养具有灵活性和多向思维能力.2
4、预备知识定义1设函数与在区间上都有定义.若,则称为在区间上的一个原函数.定义2函数在区间上的全体原函数称为在的不定积分,记作,其中称为积分号,称为被积函数,称为被积表达式,为积分变量.若是的一个原函数,则称的不定积分是一个函数族,其中是任意常数,为方便起见,写作.引理若函数与在区间上都存在原函数,,为两个任意常数,则在上也存在原函数,且当和不同时为零时,有.线性法则的一般形式为.3不定积分的解法3.1直接积分法直接积分法是利用引理先将被积函数转化为若干简单函数的和,然后应用不定积分基本积分公式来求解,这样做就是为了把复杂的积分化为简单的不定积分,把未
5、知的不定积分化为已知的不定积分.3.2换元积分法3.2.1第一类换元积分法定理1设函数在区间上有定义,在区间上可导,且.如果不定积分,称其为第一换元公式.第一换元积分法又称凑微分法,在求积分,如果它可写成的形式时,可作变量代换则,此时而又可直接积分得,最后再将换成即可.运算形式如下.第一换元积分法的关键是被积表达式化成,再进行变量代换令.常用的凑微分公式主要有:-11-(1)(,、为常数,);(2);(3);(4);(5);(6).常见的凑微分类型有:(1),;(2),;(3);(4);(5);(6);(7);(8);(9);(10);(11);(1
6、2);(13);(14);(15).现就以下几种常见的特殊情形加以讨论:(i)如果能写成的形式,那么可代换.例如-11-,可令;,可令;,可令;,可令;,可令;,可令;(ii)如果能写成的形式,那么可作代换.例如,,;(iii)如果能写成的形式,那么可作代换.例如;(iv)如果能写成的形式,那可分别代换.例如,可作替换;,可作替换;,可作替换;(v)如果能写成的形式,那么可作代换.例如,;(vi)如果被积分函数的分子是分母的导数,即能写成,那么可作代换.例如,可作代换;,可作代换;,可作代换;,可作替换.3.2.2第二类换元积分法定理2设函数在区间上
7、有定义,在区间上可导,且.如果在上存在反函数,,且不定积分在上存在,则当不定积分.在上存在时,在上有-11-,称其为第二类换元公式.与第一类换元法正好相反,第二类换元积分不能直接套用公式计算,作代换,使积分变成,且容易套用公式积分为,最后用反函数带入得出原函数.运算形式如下.在换元时,要注意以下几点:(i)选取的代换要使积分易于求出;(ii)为保证的反函数存在,保证不定积分有意义,函数必须单调可导,且;(iii)第二换元积分法的关键是寻找一个恰当的变量代换,以达到积分的目的,所以第二换元法也称作变量代换法,但对于此方法没有一般的规律可循.不过有一点可
8、以指出,在被积函数含有根式,而通过代换可以把根式消去的情况下,一般可以采用第二换元法.常用的有以下几种代换方
