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1、【学法指导】从不定积分的一题多解浅析高等数学的发散思维龚友运(华南师范大学增城学院公共课教学部,广东广州511363)摘要:发散思维是多方向性和开放性的立体思维方式,是创造性的核心.一题多解是培养发散思维最有效的途径之一.本文以计算不定积分的“一题多解”为例,给出发散思维在高等数学中的应用实例.关键词:发散思维;收敛思维;一题多解;不定积分高等数学的学习是离不开逻辑思维(又称抽象思x(x2+1)-xxx-22=乙dx=乙x姨1+xdx-乙dx=维)的.美国心理学家吉尔·福特根据人的思维方式的不姨1+x2姨1+x23同,把思维分为求同思维和求异思维.所
2、谓求同思维(又2姨1+x+C;称为集中思维、聚敛思维、收敛思维、聚合思维、辐合思3x22维),就是多种信息输入、一种信息输出的思维;具体来思路3:%I=乙2dx=乙xd(姨1+x)姨1+x说,就是利用公理、定义、定理,使思维规范化,掌握知2222识一般规律.所谓求异思维(又称扩散思维、辐射思维、=乙(x+1-1)d(姨1+x)=乙(x+1)d(姨1+x)-乙d发散思维、放射思维),就是一种信息输入、多种信息输2x-22(姨1+x)=姨1+x+C;出的思维;也就是利用定理、公式、已知条件等产生多3种想法,广开思路,提出新的假设、新的构思,发现和解22t
3、思路4:令t=姨1+x,则x=姨t-1,dx=dt,2决新问题.姨t-1前苏联著名教育学家、心理学家赞可夫(Л·В·x·2xt2-1213%I=乙dx=乙tdt=乙(t-1)dt=t-t+C=Ванков)说过:“凡是没有发自内心求知欲和兴趣的东1+x2t3姨西,是很容易从记忆中挥发掉的.”发散性思维的形成是2x-22姨1+x+C;以乐于求异的心理倾向作为一种重要的内驱力的.为3此,教师可选择具体例题,创设问题情境,使学生乐于其次,考虑利用第二类换元积分法.2进行求异思维.以下以不定积分的“一题多解”为例,给由于被积函数含有式子姨1+x,在第二换元积
4、分出发散思维在不定积分中的应用实例.法中,该式通常运用三角代换(含双曲代换),于是有33x2tant2例1计算不定积分%I=乙dx思路5:令x=tant,则dx=sectdi,I=乙·sectdt=乙1+x2sect姨32分析:观察和积累是发散思维的基石.计算不定积sintcost-111124dt=乙4d(cost)=-+3+C=-姨1+x分,必须以扎实而丰富的基础知识为依据【如:常用的costcostcost3cost323个不定积分基本公式、求不定积分的常用方法(第一122x2-22+(1+x)+C=姨1+x+C;类换元积分法、第二类换元积分法
5、、分部积分法)、代数333式及三角函数式的恒等变形等】,使思维向多方向扩(sht)思路6:令x=sht,则dx=chtdt,再次,I=乙cht-展,尽可能多地提出多种设想、寻求多种解答思路.cht2首先,考虑利用第一类换元积分法,于是有3213x-2dt=乙(sht)dt=乙(cht-1)d(cht)=cht-cht+C=3332x1x21思路1:%I=乙dx=乙(dx)=乙2姨1+x22姨1+x22姨1+x+C考虑利用分部积分法.x2+1-1由于人们已经熟悉了运用第一换元积分法与第二2d(1+x)姨1+x2换元积分法来计算不定积分,因此,在利用分部
6、积分法3来计算不定积分时,可以考虑与前两种积分方法结合11d(1+x2)12222=2乙姨1+xd(1+x)-2乙2=3(1+x)使用.如本例将分部积分法与第一换元积分法结合使姨1+x1用,又有22x-22-(1+x)+C=姨1+x+C;x322223思路7:I=乙dx=乙xd(姨1+x)=x姨1+x2姨1+x由于被积函数是代数式,故可以考虑将它进行代3数式的恒等变形,根据第一换元积分法,又有-1+x22)=x21+x22(1+x2)2+C=x-2乙姨xd(1+x姨-3333xx+x-x思路2:I=乙dx=乙dx2姨1+x2姨1+x2姨1+x+C;-
7、73-【学法指导】x3x3姨1-x21可以证明,它们仅仅相差一个常数.思路8:I=乙dx=乙dx=乙姨1+x2姨1-x421思路1:先把变形为secx,再利用求导公式cosx241244姨1+xd(姨1-x)=[姨1-x·姨1-x-乙姨1-xd2(secx)'以及secx·tanx以及(tanx)'=sec2x,可得%I=乙1cosx212212(姨1-x)]=[(姨1-x)姨1+x+乙姨1+xd(1+secx(secx+tanx)22dx=乙secxdx=乙dxsecx+tanx2x-22x)=姨1+x+C;31%%%%%%%类似可得:%=乙d(s
8、ecx+tanx)=In
9、想象和联想是发散思维的双翼,计算不定积分除secx+tanx了以上介绍的三种常用的
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