第五章 特征值的估计与表示

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1、引理5.1：设ACn×n，yCn为单位列向量，则证明：设A=(aij)n×n，，则第5章特征值的估计与表示5.1特征值界的估计定理5.1：设ACn×n，B=（A+AH）,C=（A-AH），则A的任一特征值满足(1)

2、

3、

4、

5、A

6、

7、m(2)

8、Re()

9、

10、

11、B

12、

13、m(3)

14、Im()

15、

16、

17、C

18、

19、m证明：设A属于的单位特征向量为y，则有Ay=y，即yHAy=yHy=，因此由引理，于是有推论Hermite矩阵的特征值都是实数，反Hermite矩阵的特征值为零或纯虚数．定理5.2：设，,则A的任一特征值满足引理5.2：对任意实数，恒有例：估计矩阵特征值的上界。解：由定

20、理5.1，对A特征值，有：

21、

22、2，

23、Re()

24、2，

25、Im()

26、1.3，由定理5.2，知其虚部的另一逼近为：其特征值为：定理（Schur不等式）：设A=(aij)Cn×n的特征值为，则且等号成立的充要条件是A为正规矩阵。定义（1）按行严格对角占优：（2）按行弱对角占优：上式至少有一个不等号严格成立。定义每行每列只有一个元素是1,其余元素是零的方阵称为置换阵(或排列阵).定义5.2特征值的包含区域定义5.1设A=(aij)Cn×n，记Ri=ji

27、aij

28、(i=l，…，n)，称区域Gi:

29、z-aii

30、Ri为矩阵A的第i个盖尔圆，其中Ri称为盖尔圆Gi的半径(i=l，…，n

31、)。定理5.4矩阵A=(aij)Cn×n的所有特征值都在它的n个盖尔圆的并集之内。证明:设λ为其特征值，为对应特征向量，且为其绝对值最大者，则有即定理5.5由矩阵A的所有盖尔圆组成的连通部分中任取一个，如果它是由k个盖尔圆构成的，则在这个连通部分中有且仅有A的k个特征值(盖尔圆相重时重复计数．特征值相同时也重复计数)．证明思路：分裂A=D+B，其中D为A的对角线元素构成的对角矩阵，即D=diag(a11,a22,…,ann)，定义矩阵A(u)=D+uB则其特征值变化连续依赖于参数u，详细证明请见黄廷祝所著教材矩阵理论。因此例：讨论矩阵的特征值的分布。解：A的盖尔圆分别为

32、z-10

33、≤8和

34、

35、z

36、≤5，这两个盖尔圆为连通的，因此包含两个特征值。其特征值为都在盖尔圆

37、z-10

38、≤8中，而不在盖尔圆

39、z

40、≤5内。需要指出：由两个或者两个以上的盖尔圆构成的连通部分，特征值分布不一定是平均的，即可以在其中的某个盖尔圆中有几个特征值，而在另外一些盖尔圆中无特征值。则矩阵DAD-1与A具有同样的特征值，因此有将Ri=ji

41、aij

42、改作ri=ji(

43、aij

44、i/j)(i=l，…，n)，则两个盖尔圆定理仍然成立，其中i都是正数。特征值的隔离隔离矩阵特征值原则结合使用A的n个行盖尔圆和n个列盖尔圆。选取正对角矩阵D，使得B=DAD-1，适当选取D，有可能使B的每一个盖尔圆包含A的

45、一个特征值。欲使A的第i个盖尔圆Gi的半径变大(或小)些，就取i＞1(或i＜1)．而取其它正数=1。此时，B的其余盖尔圆的半径相对变小(或变大)．但是，这种隔离矩阵特征值的办法还不能用于任意的具有互异特征值的矩阵．比如主对角线上有相同元素的矩阵．例:隔离矩阵A=的特征值．A的3个盖尔圆为G1:

46、z-20

47、5.8，G2:

48、z-10

49、5，G3:

50、z-10j

51、3。G1与G2相交；而G3孤立，其中恰好有A的一个特征值，记作3(见左图)．选取D=diag(1，1，2)，则B=DAD-1的三个盖尔圆为G1’:

52、z-20

53、5.4，G2’:

54、z-10

55、4.5，G3’:

56、z-10j

57、6。易

58、见，这是3个孤立的盖尔圆，每个盖尔圆中恰好有B的(也是A的)一个特征值(见右图)．