.离散序列的相关函数

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1、6.2离散序列的相关函数第6章功率谱估计?离散随机序列的特征描述?平稳随机序列通过LTI系统?经典功率谱估计?现代功率谱估计6.1离散随机序列的特征描述?随机过程的分布函数?随机信号的数字特征?平稳各态遍历随机信号的时域描述?平稳各态遍历随机信号的频域描述（功率谱密度）一、随机过程的分布函数{X[k],k?Z}表示一个随机过程一维分布函数F(x,k)?P(X[k]?x)二维分布函数F(x1,x2;k1,k2)?P(X[k1]?x1,X[k2]?x2)N维分布函数F(x1,x2,?,xN;k1,k2,?kN)?P(X[

2、k1]?x1,?X[kN]?xN)二、随机信号的数字特征均值mx[k]?E{X[k]}方差?2k]?E{(X[k]?m222x[x[k])}?E{X[k]}?mx[k]自相关函数Rx[k1,k2]?E{X[k1]X[k2]}互相关函数Rxy[k1,k2]?E{X[k1]Y[k2]}三、平稳各态遍历随机信号的时域描述1平稳随机序列指统计特性不随时间的平移而变化的那一类随机序列严平稳随机序列：F(x1,x2,?,xN;k1,k2,?kN)?F(x1,x2,?,xN;k1?n,k2?n,?kN?n)宽平稳随机序列：E{X[

3、k]}?mxE{X[k]X[k?n]}?Rx[n]平稳随机信号自相关函数特性（1）对称性Rx[n]?Rx[?n]R*x[n]?Rx[?n]（2）极限值n?0R2x[0]?E{X[k]}n??Rx[?]?m2x（3）不等式Rx[0]?Rx[n]2.各态遍历随机信号集平均等于时间平均Nmx?E{X[k]}?lim1x[k]N??2N?1?k??N?2x?E{[X[k]?m1Nx]2}?lim[x[k]?m2N??2N?1?x]k??NR1Nx[n]??E{X[k]X[k?n]}?lim?x[k]x[k?n]N??2N?1

4、k??N四、平稳各态遍历随机信号的频域描述功率谱密度Px(?)?limE[1)2]N??2N?1FX(?,N维纳——辛钦公式?Px(?)??Rx(n)e?j?nn???Rn)?1?ej?nx(2????Px(?)d?当自相关函数绝对可积时，平稳随机信号的自相关函数和功率谱密度是一对傅里叶变换对。6.2平稳随机序列通过LTI离散时间系统?输出序列的均值?输出序列的自相关函数?输出序列的功率谱?输入/输出序列的互相关函数及互功率谱平稳随机序列通过LTI系统一、输出序列的均值my[k]?E{y[k]}??nh[n]E{x[

5、k?n]}?mx?h[n]nH(ej0)j0my[k]?mxH(e)二、输出序列的自相关函数Ry[n]?Rh[n]?Rx[n]Ry[n]是系统单位脉冲响应h[k]的自相关函数Rh[n]与输入随机序列X[k]的自相关函数Rx[n]的卷积.系统单位脉冲响应h[k]是确定信号，其自相关函数定义为?DTFT{Rh[n]}?DTFT{Rx[n]}三、输出序列的功率谱Py(?)?DTFT{Ry[n]}?DTFT{Rh[n]?Rx[n]}(?)四、输入/输出序列的互相关函数及互功率谱互相关Ryx[n]?E{Y[k]X[k?n]}?

6、h[?n]?Rx[n]Rxy[n]?E{x[k]y[n?k]}?h[n]*Rx[n]互功率谱Pxy(?)?DTFT{Rxy[n]}?H(ej?)Px(?)PDTFT{Rej?yx(?)?yx[n]}?H*()Px(?)[例]一离散时间平稳白噪声通过一阶IIR数字滤波器y[k]?x[k]??y[k?1]??1求输出的自相关函数、平均功率和功率谱。零均值白噪声的特征E{X[k]}?0P(?)??2Rn]?1π2jn?2x[2π???πedΩ???[n]解：H(z)?11?az?1z?ah[k]??ku[k]H(ej?)?

7、11??e?j?H(ej?)2?11?2?cos???2（1）计算输出的自相关函数n???kn?k????n?0??Rh[k]h[k?n]??2?k?01??h[n]????nk????kn?k??n?0?????k??n1??2n??1??22?2?nRy[n]?Rh[n]?Rx[n]??Rh[n]?1??2（2）输出平均功率lim1Ny2[k]?RN??2N?1?y[0]??2k??N1??2（3）输出功率谱P2y(?)?H(ej?)Px(?)??21?2?cos???26.3经典功率谱估计?谱估计的质量?相关法

8、(间接法)?周期图法(直接法)?周期图法的改进?利用MATLAB实现功率谱估计一、谱估计的质量1．估计量的偏差bia{??}?E{??}??2．估计量的方差var{??}?E{(???E{??})2}若bia{??}?0,limvar{??}?0,则称??为?的一致估计N??3．估计量的均方差MSE{??}?E{(????)2}?var{??}