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时间:2018-07-30
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1、高二数学:直线的方程以及平行、垂直、到角公式的应用 一、教学要求: 1、通过本内容的学习,充分理解直线的方程与方程的直线的关系,加深对几何问题坐标化的理解. 2、研究直线方程的五种形式及相关公式,注意直线方程的五种形式中除一般形式外,均有不能表示的直线,否则可能丢解. 3、理解直线方程的常数参数的几何意义. 4、两直线平行垂直的判定与应用 5、到角与夹角公式 二、重难点分析: (一)直线方程五种形式及限制条件 名称 方程 常数的几何意义 不能表示的直线 点斜式 y-y1=k(x-x1) (x1,y
2、1)为直线上的一定点,k为直线的斜率 x=x1 斜截式 y=kx+b k为直线的斜率,b为直线在y轴上的截距 x=x1 两点式 (x1,y1),(x2,y2)是直线上的两定点 x=x1 y=y1 截距式 a是直线在x轴上的截距,b是直线在y轴上的截距 与x轴、y轴垂直的直线和过原点的直线 一般式 Ax+by+c=0 (A2+B2≠0) A、B、C为系数 无 说明: 点斜式处于中枢位置,是最基本的形式,也是推导其它形式的基础。对其它形式要牢记它的适用范围,有哪些不能表示的直线,并且能灵活
3、地互化。 一般式是对各种具体形式的概括,因此理论上很重要。 (二)方程的推导 1.点斜式 注意: (1)点斜式是最基本的形式,也是推导其它形式的基础。它的推导是直接法求曲线的方程的典型应用,在推导过程中把握以下几点:[1]直线的定义:过定点且保持运动方向不变的点集。[2]通过斜率公式将结合条件坐标化:[3]由斜率公式的限制条件,导致对x≠xl和x=x1的分类讨论;[4]能合并的尽量合并。 (2)通过点斜式的推导,进一步熟悉求曲线方程的方法,加深对曲线的方程的理解,注意体会变形中如何保证等价性。 (3)写直线方程时保证
4、[1]x,y∈R;[2]等价变形,结果会不会缩小或扩大曲线,满足曲线的方程定义的两条。 (4)在具体求解问题时,点斜式不能表示的直线需单独进行讨论。容易丢解。 2.斜截式 若直线L的斜率为k,在y轴上的截距为b,则直线L过点(0,b), 由点斜式方程知,直线L的方程为y-b=kx即y=kx+b. 注:截距是数量值,而不是长度值。 3.两点式 若直线L过点(x1,y1)、(x2,y2),且x1≠x2,y1≠y2 则直线L的斜率为,由点斜式方程知 直线L的方程为 注意:与其它两种写法的区别: 表示的不是整条直线,
5、不包括点(x1,y1),所以它不符合纯粹性,不是所求曲线的方程: (x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)可以表示过这两点的所有直线,而且对已知两点没有限制。 4.截距式 若直线L在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,即过点(a,0),(0,b) 当a≠0,b≠0时,由两点式方程知, ,即为所求的截距式方程: 当a=0且b=0时,直线L的方程为y=kx 当a,b其中一个为0时,不存在截距,不能表示与x轴、y轴垂直的直线。 5.一般式Ax+By+C=0(A2+b2≠0) 第一、在平面直角坐标系中,对
6、于任何一直条直线,都有一个表示这条直线的关于x,y的二元一次方程。如:在平面直角坐标系中,每条直线都有倾角时,有斜率k,直线方程为y=kx+b;当时,x=x1;他们都是关于x、y的二元一次方程。 第二、任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线。 直线方程的一般式:Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 当B≠0时,其斜率为,在y轴上的截距为 当B=0时,由于A、B不同时为零所以A≠0,方程可化为,它表示一条与y轴平行或重合的直线。 综上,在直角坐标平面内,任何关于x,y的二元一次方程都表示一条直线。 注意:对二元一次方
7、程中限制条件A2+B2≠0的理解。 (三)直线的参数方程 直线L过P0(x0,y0),方程向量为 设P(x,y)是直线L上的任意一点,则 所以有且只有一个实数t,使得,即(x-x0,y-y0)=t(a,b) (四)直线的方向量方程:P55 点向式方程:将参数方程消去参数t,得 点法式方程,(放到直线的位置关系后讲) 过点P(x0,y0),法向量为 则A(x-x0)+B(y-y0)=0 二、两条直线的位置关系及到角、夹角公式 1.平行与垂直 (1)平行: [1]l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+
8、b2时, 斜率不存在很容易判断两条直线是否平行; [2]l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0时, (2)垂直: [1]l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2时, [2]l1:A1x+B1y+C1=0,
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