高平面向量公式大全

高平面向量公式大全

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1、1、向量的的数量积定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义:两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b。若a、b不共线,则a•b=

2、a

3、•

4、b

5、•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣。向量的数量积的坐标表示:a•b=x•x'+y•y'。向量的数量积的运算律a•b=b•a(交换律);(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);向量的数量积的性质a•a=

6、a

7、的平方。a⊥b〈=〉a•b=0。

8、a

9、•b

10、≤

11、a

12、•

13、b

14、。向量的数量积与实数运算的主要不同点(1)向量的数量积不满足结合律,即:(a•b)•c≠a•(b•c);例如:(a•b)≠a•b。(2)向量的数量积不满足消去律,即:由a•b=a•c(a≠0),推不出b=c。(3)

15、a•b

16、≠

17、a

18、•

19、b

20、(4)由

21、a

22、=

23、b

24、,推不出a=b或a=-b。2、向量的向量积定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b∣=

25、a

26、•

27、b

28、•sin〈a,b〉;a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0

29、。向量的向量积性质:∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。a×a=0。a‖b〈=〉a×b=0。向量的向量积运算律a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。3、向量的三角形不等式(1)∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;①当且仅当a、b反向时,左边取等号;②当且仅当a、b同向时,右边取等号。(2)∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。①当且仅当a、b同向时,左边取等号;②当且仅当a、b反向时,右边取等号。4、定比分点定比分点公式设P

30、1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数λ,使向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。若,,,则有;(定比分点向量公式)(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段的定比分点公式5、三点共线定理若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中,若GA+GB+GC=O,则G为△ABC的重心向量共线的重要条件若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。a//b的重要条件是xy'-x'y=0。零向量0平行于任何向量。向量垂直的充要条件a⊥b的充要条

31、件是a•b=0。a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。零向量0垂直于任何向量.

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