向量公式大全.doc

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1、向量公式大全『ps.加粗字母表示向量』1.向量加法AB+BC=ACa+b=(x+x'，y+y')a+0=0+a=a运算律：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)2.向量减法AB-AC=CB即“共同起点，指向被减”如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y').73.数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣当λ＞0时，λa与a同方向当λ＜0时，λa与a反方向当λ=0时，λa=0，方向任意当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0『ps.按定义知，

2、如果λa=0，那么λ=0或a=0』实数λ向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的∣λ∣倍当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的∣λ∣倍数乘运算律:结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.7数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ4.向量的数量积定义：已

3、知两个非零向量a,b作OA=a,OB=b,则∠AOB称作a和b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a•b若a、b不共线，则a•b=

4、a

5、•

6、b

7、•cos〈a，b〉若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'向量数量积运算律a•b=b•a(交换律)(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)(a+b)•c=a•c+b•c(分配律)向量的数量积的性质a•a=

8、a

9、27a⊥b〈=〉a•b=0

10、a•b

11、≤

12、a

13、•

14、b

15、向量的数量积与实数运算的主要不同点『重要』1、(a•b)•c≠a•(b•c)例如

16、：(a•b)2≠a2•b22、由a•b=a•c(a≠0)，推不出b=c3、

17、a•b

18、≠

19、a

20、•

21、b

22、4、由

23、a

24、=

25、b

26、，推不出a=b或a=-b5、向量向量积定义：两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b.若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=

27、a

28、•

29、b

30、•sin〈a，b〉.a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线，则a×b=0.性质∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积a×a=0a//b〈=〉a×b=07运算律a×b=-b×a(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)(a+b)×c=a×c+b×c.『ps.向量没有除法“向量AB/向量CD”

31、是没有意义的』6.向量的三角形不等式∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣①当且仅当a、b反向时，左边取等号②当且仅当a、b同向时，右边取等号∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣①当且仅当a、b同向时，左边取等号②当且仅当a、b反向时，右边取等号—————————————————————三点共线定理若OC=λOA+μOB,且λ+μ=1,则A、B、C三点共线三角形重心判断式7在△ABC中，若GA+GB+GC=O,则G为△ABC的重心向量共线的重要条件若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb，xy'-x'y=0『零向量0平行于任何向量』向量垂直的充要条件a⊥b的

32、充要条件是a•b=0xx'+yy'=0『零向量0垂直于任何向量』7.定比分点定比分点公式P1P=λ•PP2设P1、P2是直线上的两点，P是直线上不同于P1、P2的任意一点则存在一个实数λ，使P1P=λ•PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ)(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ)7y=(y1+λy2)/(1+λ)(定比分点坐标公式)7