第 20 讲 三角函数求值与求角

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1、第20讲三角函数求值与求角（第课时）神经网络准确记忆！反三角函数：重点难点好好把握！重点：简单三角函数式的求值与求角。难点：判断角的取值范围。图1考纲要求注意紧扣！1.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的求值;2.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx和arctanx表示。命题预测仅供参考！运用三角函数关系式和诱导公式求值。考点热点一定掌握！三角函数式的求值包括三种类型：给角求值，给值求值和给值求角。1．给角求值解此类题的关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数约分、抵消或利用公式，从而化为特殊角的三角函数。例．不查表，求的值。解：原式例．求的值。分析：首

2、先要建立一个关于的方程，显然，这个方程的建立只能依赖于三角恒等式。解：∵，∴，设，则，即，∵，∴，即，即，解之得。点评：求某一个三角函数式的值时，可以把这个三角函数式当成一个未知数，然后列出方程求解。有了的值，那么9º、27º、36º、54º、72º三角函数值可以求出。2．给值求值解此类题的关键是找出已知式与待求式之间的角、运算以及函数的差异，一般可以适当变换已知式备用，同时也要注意变换待求式，以便于利用已知式以及已知式的变形。例．已知，求。分析：由已知条件无法判断是在第二象限还是在第三象限，所以应有两解。解：当在第二象限时，，则；当在第三象限时，，。点评：注意确定角的范围。例.（高一）已

3、知+，求。解：把已知条件两边平方得，即。点评：本题对条件“两边平方”。例．已知，求。分析：若用万能代换公式，则直接可得；如果记不得此公式，那么可以从，不过此时需要确定所在的范围，可如下判断：∵，∴或，∴或，∴在第三象限。点评：注意确定角的范围。例．已知，求的值。解：∵，∴，∴原式。点评：视需要将某种三角函数化为别的名称的三角函数。此例巧在分子分母同时除以，而使所求值的式子变成了关于的式子。例（2004年高考理科湖南题）．（高一）已知，，求的值。分析：本题的条件和结论都较繁，故把条件和结论同时变形，在变形过程中，发现易从条件式中解出，故得解。解：由得又于是例．已知，求。解：如图，可设直角的，

4、由已知可标出两直角边分别为和。再标出斜边，∴。点评：本题利用直角三角形图解以代替三角公式。此题若用三角公式去做将麻烦得多。3．给值求角解此类题的关键是先求出该角的某一三角函数的值，其次判断该角所在的象限，从而求出角。例．已知，，且、，求的值。解：，而，∴，又，，∴，∴，而，∴，∴，又，∴。例．已知，，、是锐角，求证：。分析：已知、是锐角，也就是说，要证明,可以设法证明或；也可以设法证明、或。证明：∵，∴，∵，∴即，∵，且、是锐角，∴。例．已知是三角形的一个内角，且算出，请用反三角函数表示。解：，或写为。点评:用反三角函数表示角时,要随时注意主值的概念。能力测试认真完成！参考答案仔细核对！1

5、23456789101112给角求值√√√给值求值√√√√√给值求角√√√用反三角函数表示角1．的值为（）.1；.；.；.-2。解：∵，即，故应选。2.（高一）求的值。解：原式点评：本题给角求值。3.（高一）已知+，求的值。解：，又，∴，∴，∴点评：本题为给角求值，使用正切的和角公式。4．已知，求的值。解：点评：本题如果把二倍角化为单角来做也是可以的，但运算过程较繁，尤其是还要讨论符号。象现在这样使用万能代换就省去了符号讨论。5．已知，在第二象限，求的值。解：∵，∴，∵在第二象限，∴，又∵，∴，当取偶数时，在第一象限，有；当取奇数时，在第三象限，有。解题错误：不分象限进行讨论，笼统写成。6

6、.已知，（），求的值。解：∵，画图如右图，显然角的邻边为4，则。7.（高一）已知-，求。解：两边平方得，在三、四象限。当在三象限时，，；当在四象限时，，。点评：本题对条件“两边平方”。8．已知，（），求和。解：∵，∴在第一象限时，，；在第四象限时，，。9.已知、为锐角，，，求的值。解：∵，且，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴。点评：注意角的范围的判别。10．、、均为锐角，且，，，求证：。分析：注意从并不能断定，因为从已知的、、均为锐角这一条件只能推出，也就是说也是可能的。仔细观察后发现，，，，所以、、均小于，这样就把的可能取值范围缩小为，由此才能断定。解题错误：从即推断。11．已知、是方程的两个

7、根，且，，求+的值。解：由韦达定理有+，，∴，∵，，∴，∴。12．