2-1总体,样本与统计量

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1、第二章统计概念第一节总体、样本与统计量第二节顺序统计量、经验分布函数和直方图第三节抽样分布第四节应用案例第一节总体、样本与统计量1总体与个体2样本3常用统计量一个统计问题总有它明确的研究对象.1.总体（population）研究对象的全体称为总体，总体中所包含的个体的个数称为总体的容量.总体中每个成员称为个体，因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来.总体可以用随机变量及其分布来描述.在实际研究中,我们关心的是总体中的个体的某个或某些指标(如人的身高、灯泡的寿命,汽车的耗油量…).例1研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么

2、，此总体就可以用随机变量X表示，或用其分布函数F(x)表示.某批灯泡的寿命总体寿命X可用一概率（指数）分布来刻划类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数F(x,y)来表示.统计中，总体就是一个概率分布.2.样本（sample）(1)定义为了解总体的分布,从总体中随机地取n个有代表性的个体X1,…,Xn,称X1,…,Xn为总体的一个样本;n称为样本容量.在实施抽样之后，得到n个实数x1,…,xn,它们分别是X1,…,Xn的观测

3、值，称为样本值，有时简称样本.注:样本的二重性1.样本是随机变量:X1,X2,…,Xn2.样本是一组数值:x1,x2,…,xn例.啤酒厂生产的瓶装啤酒规定净含量为640g,由于随机性,事实上不可能使得所有的啤酒净含量均达到标准.现从某厂生产的啤酒中随机地抽取10瓶测定其净含量,记为X1，X2，…，X10，具体结果如下：641635640637642638645643639640这是一容量为10的样本的观测值,对应的总体为该厂生产的瓶装啤酒的净含量.最常用的一种抽样叫作“简单随机抽样”，其特点：1.随机性：X1,X2,…,Xn中每一个与

4、所考察的总体有相同的分布.2.独立性：X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，它可以看成是n个相互独立且与总体同分布的随机变量X1,X2,…,Xn.(2)简单随机抽样简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.=F(x1)F(x2)…F(xn)若总体X的分布函数为F(x),则其简单随机样本(X1,X2,…,Xn)的联合分布函数为若总体X为离散型,分布列为其简单随机样本的联合概率分布列为若总体X为连续型,分布密度为

5、p(x;θ),其简单随机样本的联合概率密度函数为以后统一称为概率函数.总体（理论分布）？样本样本值统计是从手中已有的资料——样本值，去推断总体的情况——总体分布F(x)的性质.总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.样本是联系二者的桥梁注：总体、样本、样本值的关系3.常用统计量定义设X1,…,Xn是来自总体X的一个样本，若样本函数T=T(X1,…,Xn)不含任何未知参数，则称T是一个统计量。统计量的分布称为抽样分布。3.1定义3.常用统计量3.2样本均值1、定义：设X1,X2,……,X

6、n是取自某总体的样本，其算术平均值称为样本均值，即：它反映了总体均值的信息（2）数据观察值与均值的偏差平方和最小.即对任意常数c有2、性质（1）把样本中的数据与样本均值的差称为偏差。则样本所有偏差之和为0.即：定理13、样本均值的分布设X1,X2,…,Xn是来自某个总体X的样本，（1）若总体分布为，则（2）若总体分布未知或不是正态分布，但则的渐近分布为。（大样本场合）n取不同值时样本均值的分布注:总体：样本：考虑投掷n次，X1,…,Xn表示第i次投掷情况，样本均值：样本值：投掷100次后，得到正面的次数为51次，样本均值：3.常用统计

7、量3.2样本方差1、定义：设X1,X2……,Xn是取自某总体的样本，则称为样本方差，其算术平方根S称为样本标准差。它反映了总体方差的信息注：定义中的n是样本容量,称为偏差平方和,n-1称为自由度.即自由变动的r.v.的个数.这是由于在确定后,n个偏差中只有n-1个可以自由变动.定理2设X1,X2……,Xn是取自某总体X的样本，且X具有二阶矩，即则有它反映了总体方差的信息思考题若总体四阶矩存在，考虑3.常用统计量3.3样本矩它反映了总体k阶原点矩的信息为样本k阶原点矩.k=1,2,…定义：设X1,X2,……,Xn是取自某总体X的样本，称

8、统计量3.常用统计量3.3样本矩为样本k阶中心矩.它反映了总体k阶中心矩的信息称统计量k=2,3,…