关于双曲线若干问题的探讨

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1、关于双曲线若干问题的探讨***指导教师:***（****数学与应用数学专业2012届2班**号，********）摘要双曲线是圆锥曲线的重要内容之一，也是高考的热点问题，知识综合程度较高，且易于发散，运算复杂．此中不乏双曲线的第二定义和焦点弦等问题，无疑，这类问题在启迪学生思维，拓宽解题思路等诸多方面都有十分重要的作用，因而它在中学数学教材及各种复习资料中始终占有一席之地，针对双曲线的第二定义、焦点弦等问题及其应用，有必要作进一步的探讨和研究．关键词新课改;双曲线;焦点弦;第二定义中图分类号O123OnanumberofIssuesabou

2、ttheHyperbolicWangZibinInstructorZhoujun(No.34,class2of2012.SpecialtyofMathematicsandAppliedMathematics,hexiUniversity,Zhangye,Gansu,734000)Abstract:Coniccurvehyperbolaisnotonlyoneoftheimportantcontentsofthecollegeentranceexamination,butalsothehotissues.Thedegreeknowledgei

3、ntegrationishigh,andiseasytodivergebutcomplicatedtooperate.Thisincludeshyperbolicseconddefinitionsandfocuschordproblem.Thereisnodoubtthatthiskindofprobleminenlighteningstudents'thinking,broadeningthethoughtsofsolvingetcallhavetheveryimportantfunction,sointhemiddleschoolmat

4、hematicsteachingmaterialsandvariousreviewdataitalwaysoccupiesaspaceforoneperson.Forthehyperbolicseconddefinitions,focuslineproblemanditsapplication,itisnecessarytomakefurtherstudyandresearch.Keywords:Thenewcurriculum;Hyperbolic;focusofthestring;theseconddefined1引言新的数学课程标准是

5、在以学生发展为本的理念下，要求学生转变学习方式，教师积极探索，转变教与学观念，加深对课本内容的拓展理解和应用[1]．所以，在数学教学中，教师应善于引领学生对课本的一些重要问题进行进一步的探索与研究，以提高学生的数学素质与应试能力．双曲线的定义和焦点弦是圆锥8曲线中非常重要的几何概念，同时也是各类考试的重热点，角度常变，常考不衰．但在普通高中课程标准实验教科书中，仅仅介绍了双曲线的第一定义及其直接的、简单的应用，对于双曲线的焦点弦问题，几乎未作出任何探讨，教师在教学过程中，也往往局限于新课程标准的教学目标和要求，没有对这些知识做出进一步的拓展

6、补充.因此，学生往往不能对该类知识点做到透彻理解，巧妙应用.为此，针对双曲线的两个定义及焦点弦问题，结合具体事例，做一些简单探讨．2双曲线的两个定义定义1[2]我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．定义2[3]平面上与一个定点（焦点F）的距离和一条定直线（准线）的距离的比等于常数e的点的轨迹，当时是椭圆;当时是双曲线;当时是抛物线.人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书删去了圆锥曲线的第二定义，但在很多地方涉及了这类知识点的应用，并且相比

7、较而言，双曲线第二定义在解决某些问题中显得更加灵活、巧妙.普通高中课程标准实验教科书选修1-1页例5很显然就是第二定义的典型应用.例1[2]已知点到定点的距离和它到定直线的距离比是常数，求点的轨迹．解设根据题意得，化简得，令，则上式可化为.由此得双曲线的标准方程，这个双曲线的离心率就是到定点的距离和它到定直线（不在上）的距离比．事实上，在由第一定义推导双曲线标准方程时，曾得到这样一个式子8，(1)令，则上式可化为，(2)如果对(1)式做如下处理两边同除以，得，整理，配方得，，从而得.(3)(3)式的几何意义是:动点到定点的距离与到定直线的距

8、离的比值是一个常数．这正好是双曲线的第二定义，由此可见双曲线的第一、二定义是相互包容的．例2[5]方程所对应曲线是（）A．椭圆;B．双曲线;C．线段;D．抛物线.此题正确答案是B