高数教案第二章极限与连续

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1、第一章极限与连续第一节数列的极限教学目的：理解数列极限的概念，掌握数列极限的定义教学重点、难点：数列极限的概念，理解掌握数列极限的定义教学形式：多媒体教室里的课堂讲授教学时间：90分钟教学过程一、引入新课半径为R的圆的面积公式？但是得到圆面积这个计算公式却是不容易的.看电视http://v.youku.com/v_show/id_XNDE4NDUyMjA=.html三国时代我国数学家刘徽（约公无225年—295年）创造了“割圆术”，成功地推算出圆周率和圆的面积。圆周率是对圆形和球体进行数学分析时不可缺少

2、的一个常数，各国古代科学家均将圆周率作为一个重要课题。我国最早采用的圆周率数值为三，即所谓“径一周三”。《九章算术》中就采用了这个数据。与刘徽类似的是，古希腊的阿基米德也用正多边形法去求圆周率。但是阿基米德是用归谬法证得这一结果的，避开了极限概念，而刘徽却大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法；且阿基米德的方法需另外计算圆外切正多边形面积，刘徽的方法则只需求内接正多边形面积。与阿基米德比，刘徽的割圆术可谓事半功倍。二、新授课1、一个实验说明的事实对于一个半径为R的圆，先作圆内接正六边形，记其面积为；再

3、作圆内接正十二边形，记其面积为，循此下去，每次边数成倍增加，得到一系列圆内接正多边形的面积构成一列有次序的数,其中内接正边形的面积记为。练习题1。求半径为R的圆内接正三角形ABC的面积；内接正n边形的面积。答案：练习题2。求半径为R的圆外切正三角形ABC的面积；外切正n边形的而积；答案：如果内接正n边表的面积为，圆的面积为A，外接正n边形的面积为，则有161在几何直观上,当n越大，对应的内接正多边形就越接近于圆，,即圆与正多边形的面积（）之差就越小,因此以（）作为圆面积的近似值就越精确.但无论内接正多边

4、形的边数有多大,所计算的（）始终不是圆的面积.于是设想,如果n无限增大(记为，读作n趋于无穷大)时,（）无限接近某个确定的数。在数学上称这个确定数是上面给出的一列有次序的数(即数列)，（）当时的极限。在圆面积问题的讨论中,大家看到,正是这个数列极限才精确地表达了圆面积的结果,也可以说,解决圆面积所采用的方法就是极限方法。2、数列与函数的关系按照一定顺序排列着的一列数就叫做数列，记为{}，其中第n项做叫数列的一般项。数列的例子：它们的一般项依次为数列{}可以看作自变量为自然数n的函数它的定义域是全体正整数

5、。3、数列的几何意义从一维角度考察，数列{}可以看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点然而，从二维角度考察，数列{}可以看作XOY面上的点集{（n，）}，在XOY平面上数列{}表现为一个散点图。1614、数列的散点图在XOY平面上画出如下数列的散点图：（1）；（2）（3）（4）{}（5）（6）{sinn}输出图形如（图2—1）至图（2—6）所示。（图2—1数列）（图2—2）数列（图2—3数列）（图2—4）数列{}（图2—5）数列的图形（图2—6）数列{}由（图2—1）至图（2—6）可以看出，随着n的增

6、大，越来越趋向于1；161越来越大；越来越趋向于0；－１与１之间变动；　越来越趋向于１；sinn在－１与１之间变动．5、数列极限的直观定义对于数列{}，如果当ｎ无限增大时，数列的一般项无限地接近于某一确定的常数ａ，则称常数ａ是数列{}的极限，或称数列{}收敛于ａ，记为如果数列没有极限，称数列是发散的，例如，　　　＝１　，　＝０　，　　＝１而，{}，{sinn}　是发散的．三、本节小结：数列与数列极限的概念四、课外作业：P21习题2—11。选择题（1），（2）161第一章极限与连续第二节数列的极限教学目的

7、：掌握数列极限的定义，会用定义证明数列的极限，了解收敛数列的性质。教学重点、难点：用定义证明数列的极限教学形式：讲授法教学时间：90分钟教学过程一、引入新课数列的极限描述性定义与几何表现例如：数列是有极限的，它的图象如下：ListPlot[Table[（n+{n，1，50}]]图2-5对于数列{}，如果当ｎ无限增大时，数列的一般项无限地接近于某一确定的常数ａ，则称常数ａ是数列{}的极限，或称数列{}收敛于ａ，记为如果数列没有极限，称数列是发散的。二、新授课1、数列极限的精确定义设有数列{}及常数a，如果

8、对于任意给定的正数，总存在一个正整数N，当时，不等式恒成立，则称常数a为数列{}的极限，或称数列{}收敛于a，记作或，如果这样的常数a不存在，就说数列没有极限，或称数列发散。在直角平面坐标系OXY的Y轴上取以为a为中心，为半径的一个开区间161，称它为a的邻域，记为O（a，）：O（a，）={}“当时，不等式成立”表示数列中从N+1项起的所有项都落花流水在点a的邻域，即。由于具有任意性，也就是说邻域O（a，）的长度中（如图2-5）上下两条横线