高数 第二章 极限与连续课件.ppt

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1、数列极限一、数列的概念1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽播放正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”3.数列的定义例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数播放观察数列二、数列极限的定义问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?通过上面演示实验的观察:对极限仅仅停留于直观的描述和观察是非常不够的凭观察能判定数列的极限是多少吗问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.这就是“当n无限增大时，xn无

2、限地接近于1”的实质和精确的数学描述。如果数列没有极限,就说数列是发散的.注①定义1习惯上称为极限的ε—N定义，它用两个动态指标ε和N刻画了极限的实质，用

3、xn－a

4、＜ε定量地刻画了xn与a之间的距离任意小，即任给ε＞0标志着“要多小”的要求，用n＞N表示n充分大。这个定义有三个要素：10，正数ε，20，正数N，30，不等式

5、xn－a

6、＜ε（n＞N）②定义中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相对固定性。ε的二重性体现了xn逼近a时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过ε的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过ε

7、的相对固定性来实现）。③定义中的N是一个特定的项数，与给定的ε有关。重要的是它的存在性，它是在ε相对固定后才能确定的，且由

8、xn－a

9、＜ε来选定，一般说来，ε越小，N越大，但须注意，对于一个固定的ε，合乎定义要求的N不是唯一的。用定义验证xn以a为极限时，关键在于设法由给定的ε，求出一个相应的N，使当n＞N时，不等式

10、xn－a

11、＜ε成立。④定义中的不等式

12、xn－a

13、＜ε（n＞N）是指下面一串不等式都成立，而对则不要求它们一定成立三、数列极限的几何意义使得N项以后的所有项都落在a点的ε邻域因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点

14、外都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛”。注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证明因此则当n＞N时，有利用定义验证数列极限，有时遇到的不等式

15、xn－a

16、＜ε不易考虑，往往采用把

17、xn－a

18、放大的方法。若能放大到较简单的式子，就较容易从一个比较简单的不等式去寻找项数指标N放大的原则：①放大后的式子较简单②放大后的式子以0为极限例2证明因此则当n＞N时，有四、数列极限的性质1.有界性例如,有界无界定理1收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推

19、论无界数列必定发散.2.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.三、数列的极限