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1、MI~MOIRESURLESGROUPESKLEINtENSPARH.POINCARI~It~PARI,~.w1.Substitutionsima.qinaires.Dansunm6moireant6rieur,j'ai6tudi6lesgroupesdiscontinusformdsparlessubstitutionslindaires~.coofficicntsrdcls.I)ansleprdsenttravail,j'ail'intentiond'exposerquelquesr6sultatsrelatifsaug
2、roupesdesub-stitutionslin6aires"~coefficientsimagin'dres.Cessubstitutionsseclassentnaturellementenquatrecat6gories,commeonvalevoir.Soit:__s),~z+"z,7z+o]unesubstitutionquelconque,off.]esupposetoujours:q~--fir=~.SiOIlft.:((L+~)~--4lasubstitutionpeutsemettresousla.for
3、me:(il-,--+Kx)az--aaetKe'tantdeseonstantes.Onditalorsquelleestp,r,boliq~te50H.Poincard.Siona:(.+~)'$4lasubstitutionpeutsemettresouslaforme:a,b,K~tantdesconstantes.Si(a-4-3)2r6elpositifct>4Kestrdelpositifetlasubstitutionestkyperboli~ue.Si(a~3)~r6elpositifet<4Kestima
4、ginaireoundgatifetapourmoduleI,lasubstitutionestellipti~ue.Sienfin(a-]-3)2estimaginaireoundgatif,Kest6galementimagi-naireoundgatifetlaSubstitutionestloxodromique.Uneproprigt6communei~routescessubstitutionslin6airesc'estdet~'ansformerlescerclesencercles.Repr6sentons
5、eneffet,,~l'exempledeM.HERMITE,lesquantit~simaginaircsconjugu6esdeu,v,...parlanotationUO~VO~....Lasubstitutionaz+fl)(1)z,~'z+#peuts'dcrire:(oo,~z~FoZo-t-L'6quationg6n~iraled'uncerclcs'6critd'ailleurs(2)Azz.+Bz+Bozo+C=oAetC6tantessentiellementr6cls,etilcstclairqu'on
6、retomberasurcecercle(:)enappliquantlasubstitution(~)aucercledontvoicil'6quation:a(~z+p)(.ozo+&)+B(~z+P)(r0Zo+~o)+Bo(rz+~)(aozo+flo)+C(rz+3)(roZo+~o)=oMdmoircsurlesgroupesklein6ens.51oubien:ZZo(Aaao+Bar~+Borao+Crro)+z(Jat~o+Ua3o+Uo?'flo+Cr3o)(3)+Zo(Aria~+B/~r0+Bo31~
7、o+C~3o)+(at~l~~+Uflao+BoSfio+CSao)=o.Ecrivonsmaintenantl'dquationd'uneinversionparrapportaucercle(2),c'est6~diredel'op6rationquiconsistekchangerunpointquelconquezensontransformdparrayonsvecteursrdciproqucs,enprenantpourpbledelatransformationlecentreducerclc(2)etpou
8、rparam6trcdclatransformationlecarrddurayondcceccrcle.Voicicettc6quation.Soittletransform6dezparcctteinversion,onaura:Bov/4AC-BBot+~-~=2Azo+BSoien
