第17章－poisson随机分析

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1、4光鲁,钱敏平著应用随机过程教程–与在算法和智能计算中的应用清华大学出版社,2004第17章Poisson随机分析简介与典型的点过程1.非时齐的Poisson过程与非时齐的复合Poisson过程与特征泛函１．１数值函数对Poisson过程的积分定义17.1设N是一个强度为l的Poisson过程,对应的更新流为{t},tnT=t-t~Exp．定义[0,¥)上的函数f(t)关于N的积分为nnn-1ltNìttf(s)dN=ïåf(tn)(Nt³1)).(17.1)òsín=10ïî0(N=0)t在t给定时,它是一个随机变量,其含义为f(s)在到时刻t为止的指数流

2、上的函数值之和．如果把f(s)看成在时刻s发生事故的代价,那么这个积分就表示到时刻t为止,由指数流描t述的事故流所付出的总代价．由定义显见有１dN=N．òst0１．２Poisson过程的特征泛函T定义17.2对于Poisson过程N及定义在[0,T]上的函数f(t),我们将f(s)dN的tòs0特征函数在1处的值记为F(f)，即NTiòf(s)dNsF(f)=Ee0．N于是对于给定一个函数f,就有一个数F(f)与之对应,这种从函数f到F(f)的映射称N为泛函,又因为此泛函是通过Poisson过程的积分生成的,所以称为Poisson过程的特征泛函．例17．3当

3、f(s)ºJ×I(s)时,Poisson过程的特征泛函就简化为Poisson过程在时[0,t]刻t的特征函数Eeiq×Nt．而当f(t)ºJ×I(t)+J×I(t)时,特征泛函就简化为1[0,t1]2(0,t2]i(q×N+JN)Poisson过程在时刻t与时刻t的联合特征函数Ee1t12t2．12设t

4、2t21[0,t1]2(t1,t2]TTi[qIt](t)+qItt](t)]if(t)òl(e1[0,12(1,2-1)dtòl(e-1)dtlt(eiJ1-1)l(t-t)(eiJ2-1)0=e1e21`=e0=e.n-1再复杂一些,对于0=t0

5、函的表达公式为TTif(t)òl(e-1)dtiòf(t)dNt0Ee0=FN(f)=e.(17.2)此定理是Poisson随机变量的特征函数的自然推广.１．３非时齐Poisson过程的统计性质我们回忆非时齐的Poisson过程N,它是非时齐的独立增量过程．它与时齐的Poissont过程的不同之处仅仅在于其强度不再是一个常数l,而是一个依赖于时间的函数l(t),称为非时齐的Poisson过程的强度函数．即对于s

6、是一个强度为l(t)的非时齐的Poisson过程,它是一种记录”事故”的计数过程,t将这个过程的各个计数(事故)发生的随机时刻记为0=t

7、．推论17.６发生时刻列{t}是状态连续的非时齐的Markov链．n证明在已知(t,L,t)=(s,L,s)的条件下,随机变量t的条件分布密度为1n1nn+1sn+1òl(u)dul(s)eSnIgtn+1

8、t1,L,tn(sn+1

9、s1,L,sn)=n+1sn

10、s,L,s)=l(s+t)eSnI(t)．（１７．４）Tn+1

11、t1,L,tn1nn[0,¥)定理17.８时刻

12、t时的计数N与发生时刻的联合分布(注意这是混合型的随