交错级数比较和比值判别法探讨

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1、交错级数比较和比值判别法探讨交错级数比较和比值判别法探讨交错级数比较和比值判别法探讨交错级数比较和比值判别法探讨交错级数比较和比值判别法探讨交错级数比较和比值判别法探讨交错级数比较和比值判别法探讨交错级数比较和比值判别法探讨交错级数比较和比值判别法探讨交错级数比较和比值判别法探讨№.6VoI.29陕西科技大学JOURNALOFSHAANXIUNIVERSITYOFSCIENCE&TECHNOLOGYDec.2011?l57?文章编号:1000—5811{2011)06—0157—04交错级数比较和比值判别法探讨蔺梦阳(南开大

2、学经济学院,天津300071)摘要:对交错级数是否有比较和比值判别法进行了讨论,通过例子并结合一般级数收敛的概念,给出交错级数比较和比值判别法不一定成立的结论,理清了交错级数与正项级数在判别方法方面的关系.关键词:交错级数;莱布尼兹判别法;比较判别法;比值判别法;绝对收敛中图法分类号:O173.1文献标识码:A0引言高等数学中交错级数敛散性的判别有莱布尼兹判别法,即:对交错级数∑(一1)口(口>0)(1)=1如果(1)口≥口计;(2)lim口一0,则交错级数∑(一1)n收敛.对某些交错级数,如果它们不满足一～“1莱布尼兹判别法

3、的条件,还可以建立其它一些判别法来判定这些级数的敛散性,这些判别法仅针对这些特殊类型的交错级数的收敛与发散性判有良好效果.事实上,在学习研究级数时,收敛性定义对我们判别一个级数的敛散性有时会有意想不到的效果.比交错级数更广泛的一类正项负项相间隔的级数是双项交错或多项交错级数,它们有和交错级数相类似的敛散性判别法.1交错级数比较和比值判别法讨论我们知道,正项级数有比较判别法引,那么,交错级数有没有和正项级数类似的比较判别法呢?下面进行一些讨论.问题1.1对交错级数∑(一1)口和∑(一1)～b,如果:(1)口≤b(一1,2,…);(2)

4、limb一0;(3)∑(一1)一b收敛,是否有∑(一1)n收敛?回答是不一定.请看下面的例子,例1.1说明结论成立,例1.2说明结论不成立.例1.1若口:专,b一,显然有(1)n≤b(一1,2,…);(2)limb一0;(3):(一1)～b收敛,并7l一t..=且∑(一1)口也收敛.*收稿日期:2011一O8—23作者简介:蔺梦阳(1991一),女,陕西省咸阳市人,研究方向:金融数学?158?陕西科技大学第29卷3’一1)收敛,但是(一1)~lan不收敛,这是因为,若记交错级数(～1)1nn的前2项和为S,则有sz=1一丢+i1一1

5、十i1一1+…+一==:客一客丽1由于1一+∞,丽1:==轰,所以sz一=+..,从而级数(一1)口发散.对于”问题1.1”,用正项级数的比较判别法,可以得到下面的结论:定理1.1对交错级数∑(一1)口和∑(一1)6,如果满足:(1)n≤6(,li1,2,…);(2)∑收敛,则交错级数∑(一1)口收敛,并且是绝对收敛.”一1问题1.2对交错级数∑(～1)n和∑(一1)一b,如果lim一z(0<z<+..),那么交错级数1Hl…～n∑(一1)口和∑(一1)一b是否有相同的收敛和发散性?回答是不一定.请看下面的例子,例1.3

6、说明一ln一1结论成立,例1.4说明结论不成立.例1.3和∑(一1)b一∑(一1)n=1H=I=1一1+1一了1+…=:=:一一了十…(2)(3)显然有lim一2,应用Leibniz判别法易知交错级数(2)和(3)都收敛.例1.4交错级数E一(-1)”-~an--√22Il6≤口l有然显l一一.678563412Il一一一,●●●●●●1,●●●【『I口若2l例～卜1—4—1—3+1—2一lJ1一一∑l1一数级错交取对于交错级数(1),如果口(口>0)本身满足某些条件,可以得到交错级数绝对收敛的一些判定结论,下面定理1.2和1

7、.3的证明见文献[7].定理1.2对交错级数(1),如果lD,0≤lD≤+..,则(1)当ID<1时,交错级数(1)绝对收敛;(2)当P>1或JD一+..时,交错级数(1)发散.定理1.3对交错级数(1),如果lim—lD,0≤JD≤+O0,则(1)当P<1时,交错级数(1)绝对收敛;(2)当l0>1或P一+..时,交错级数(1)发散.定理1.4对交错级数(1),如果lim(:～1)一lD,则当ID>0时,交错级数(1)收敛.—●∞”—.’证明因为lim(一1):P,且』D>0,因此,对于任给的e

8、(0<e<lD),存在N,当>N时有一..”1’l(一1)一IDI<eI”计ll即￡型+1<<+1(6)一方面,由于0<e<』D,显然有a>(p--~+1)a抖1>口1另一方