论概念联系与概念网络在数学概念学习中的作用.doc

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1、论概念联系与概念网络在数学概念学习中的作用*李善良（江苏省中小学教学研究室，江苏南京210005）摘要：数学概念之间具有联系性，任一数学概念都由若干数学概念联系而成；只有建立数学概念之间的联系，建立数学概念的不同表示之间的联系，才能透彻理解数学概念；概念学习实际上就是通过建立概念之间内在的以及概念的不同表象之间的各种联系，使之形成概念网络。只有透彻了解概念联系与概念网络的含义、特征、类型、对数学概念学习的影响，才能有效地进行数学概念的教学。关键词：联系；网络；数学概念；学习中图分类号：G633.6 文献标识码：C作者简介：李善良，博士，江苏教育科学研究院副教授，主要从事数学课程与教

2、学论研究。数学教育研究者已逐渐认识到，数学概念之间具有联系性，任一数学概念都由若干数学概念联系而成；只有建立数学概念之间的联系，建立数学概念的不同表示之间的联系，才能透彻理解数学概念。概念学习实际上就是通过建立概念之间内在的以及概念的不同表象之间的各种联系，使之形成概念网络。一、概念联系（一）概念联系的含义“概念联系”可分为两种：不同概念之间的联系与同一概念的各种联系。这两种联系又各有数学角度的联系与心理学角度的联系。这些理解互有重叠，有时互相冲突，因而给“联系”的理解与建立带来困难。1.不同概念之间的联系。因为学生大多接触的不是一个独立的概念，而是以某概念为中心的一个概念群，所以

3、，建立概念之间的逻辑联系就十分重要。这些联系包括数学中各种关系（运算、逻辑连接、变换等）以及各种抽象（强抽象、弱抽象、广义抽象等）。从心理学角度看，这些不同概念之间的联系，表现为数学概念的意义是从多种情境中提取出来的，但是，要分析每一种情境又不能只用一种概念，而要用到好几种概念。这就是“概念域”的思想。因此，“学习概念不是学习一个个孤立的概念，而同时是建立众多概念之间的联系”，“每一概念都具有一定的复杂程度，特别是，只有在与其他概念所形成的网络中才能全面理解它”。[1](125)2.同一概念的相关联系。在数学上表现为同一概念的内部逻辑结构、同一概念和各种等价表示之间的联系以及与具体

4、模型相联系的外部表示之间的抽象。在心理学上表现为三种联系，即所谓的外部联系、内部联系、内外联系。外部联系指同一概念的不同表示（图形的、符号的、语言的、实物的）之间的联系。内部联系指内部表征将表象进行相连的内容，包括不同心理表征之间的转换并进而整合出概念意象。这种联系也是对外部概念表象进行辨认、识别、加工的过程。它是一种动态的、变化的、活跃的、没有结构的、不牢固的过程，具有场性、弥散性、歪曲性。如何建立外部的学习内容与内部的认知结构之间的联系（内外联系），一直是数学教育的研究课题，也是教育心理学研究的重要内容，皮亚杰、奥苏贝尔、布鲁纳、建构主义学说已有很多理论与假设。但这一切都是建立

5、在假设“学生内在已有一个认知结构”基础上的。内外联系实际上是思维的转换，包括监控、调节、组合、评价、决策等，指从内部网络中排出序状的联系提供给外部，同时把外部的内容转换给内部，激活内部相应的网络。这是对概念内外联系的一种理解。概念的内外联系还表现为外部表示形式与内部的表示之间的转换上。这就是GerardVergnaud提到的被表示物（思维对象）和表示物（外部表示）之间的联系。这些联系尤其表现在外部语言、书写记号所构成的外部表示系统与学生个人的内部表征形式之间的联系上。“书写的记号必须在内部表示为数学的对象而不是在纸上代表了别的东西的记号”。[2](147)关于概念内外联系的第三种理

6、解是社会建构主义的思想。鉴于过去研究只是对概念的“客观意义”（教材中的标准定义）的把握，这种理论提出对概念的理解要从“主观”的角度进行，“理解一件事物表示把这件事物同化入一个适当的schema之中”，[3](36)从而获得该事物的确切的意义。究竟如何才能使“外化”了的数学对象重新转化成思维的内在成分呢？“显然，这并非是在头脑中机械地重复有关对象的形式定义，而主要是一个意义赋予的过程，也即应当把新的概念纳入到主体已有的认知框架之中，从而成为可以理解的和有意义的”。[1](94)实际上，所谓的内外联系就是个体对外部的解释过程，使外部内容变成个体的内部网络的一部分。（二）概念联系的方式由

7、于对概念的联系的理解有多层意义，因而有关概念联系的方式也是多样的：1.在不同概念之间，从数学角度看，联系的方式有抽象，包括强抽象、弱抽象、广义抽象等。从心理学角度看，不同概念之间的联系还包括描述、类比、比喻等。2.对于同一数学概念，从数学角度考察，外部不同表示之间的联系方式有变换，系统内为等价变换，系统之间为同构变换，非系统之间有拟同构变换（含比喻、类比等）。从心理学角度考察：“同一概念的不同表示形式之间的联系通常是基于相似关系和判别关系”，在建成概念内部网络时，其内