第13章-金融的随机模型

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1、龚光鲁,钱敏平著应用随机过程教程–与在算法和智能计算中的应用清华大学出版社,2004第13章金融证券未定权益的定价1Black-Scholes模型的欧式未定权益的定价1.1术语与基本假定概念１３．１（可行市场）研究金融市场有一个基本的假定,就是无套利原则,也称套利原则,这个原则就是假定正常运行的市场没有套利机会.（套利的粗略含义是，在开始时无资本，经过资本的市场运作后，变成有非负的（随机）资金，而且有正资金的概率为正）．因为在出现套利机会时,大量的投机者就会涌向市场进行套利,于是经过一个相对短的时期的”混乱”后,市场就会重返”正常”,

2、即回复到无套利状态.在金融衍生证券的定价理论中并不讨论这段短混乱时期,因此，在研究中,普遍地设置无套利假定,这样的市场也称为可行市场.概念１３．２（套期）粗略地说,以持有某些有价证券组合来抵销某种金融衍生证券所带来的风险,称为套期,这种套期事实上是完全套期.如果只抵销了部分风险,则称为部分套期.定义１３．３（欧式期权，欧式未定权益）设某种风险金融证券每份在t时刻的价格为S,并设它满足以下的Black-Scholes模型:tdS=S(mdt+sdB),(13.1)ttt其中常数m,s(>0)分别为证券的收益率与波动率.假定当前的银行利率

3、为常数r,而且不随时间变化.以这种证券为标的变量(UnderlyingVariable)的欧式看涨期权（Europeancalloption），是指在t=0时甲方(一般为证券公司)与乙方的一个合约，按此合约规定乙方有一个权利，能在时刻T以价格K(它称为敲定价格,strikingprice)从甲方买进一批(一般为100份)这种证券,如果时间T时的市场价格S低于K，乙方可以不买,而只要T时间T时的市场价格S高于K，乙方就得利.综合起来,乙方在时刻T净得随机收益为T++X=(S-K).这种合约(它的数学表示就是X=(S-K))称为期权.又因

4、为乙TTTT方只能在最终时刻T作出选择,称为欧式期权.此外,乙方希望S尽量大,以便有更多的T获利.也就是有选择权的乙方盼望股票上涨,所以称为看涨期权,或者买权.由于这个合约能给乙方带来X的随机收益，就需要乙方在t=0时刻用钱从甲方购买.这个合约在t=0T时刻的价格,称为它的贴水或保证金(premium).问题是如何确定这个合约在时刻t

5、场价格S高于K，乙方可以不卖.只要时间T时的市场价格S低于K，TT373+卖方就得利.综合起来,乙方在时刻T净得为随机收益X=(K-S).这也是一种欧式TT期权,此时乙方盼望S尽量小,以便有更多的获利.也就是,乙方盼望股票下跌,所以称为T看跌期权,或者卖权(putoption).同样由于这个合约也能给乙方带来X的收益，也就需要T乙方在t=0时刻用钱从甲方购买.这个合约在t=0时刻的价格,也称为它的贴水或保证金.一些大公司常把以本公司的股票为标的证券的期权,作为其雇员收入的一部分,以将雇员与公司利益更紧密地联系起来.比看涨期权与看跌期权

6、更为一般的欧式期权是:甲方卖给乙方一个由证券组合组成的一个合约,此合约能在T时刻给乙方带来随机收益f(S)(称为欧式未定权益),同样要给出T这个合约在时刻t

7、Se,即dS=rSdt.(13.2)t0tt无套利下的看涨与看跌平权关系定义１３.４（远期合约）未定权益为S的欧式权益,称为在时刻T成熟的远期合约.T显见远期合约在时刻t(

8、(平权关系的得到,是基于未定权益有如下的等式:++(S-K)-(K-S)=S-K.TTT这说明买进一张(在金融中称为多头一张)在T到期的执行价格为K的看涨期权与卖出一张(在金融中称为空头一张)相应的看跌期权,就相当于买进