2009年华中科技大学考研真题数学分析答案真题

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1、2009年华中科技大学招收攻读硕士研究生入学考试自命题数学分析试题一、设是二元连续可微函数满足，又设是由方程所确定的隐函数，其中为非零常数，求。解：分别对求导，得由及上式解得从而二、计算曲线积分，其中积分路径为单位圆周（逆时针方向）。解：令则记（顺时针方向），则令，则三、计算三重积分，其中解：令则积分区域变为从而四、将函数在区间上展成余弦级数并求该级数在区间上的和函数。解：展式见08年第八题由于延拓后的函数在上连续，故级数在上收敛到延拓的函数，即：五、（1）求函数（其中）在球面的最大值。（2）设为正数，证明不等式（1）解：应用拉格朗日乘数法，令对求一阶偏导，并令它们为0，则有由，解得从而是的稳

2、定点，且所求得条件极值点必在其中取得。故函数的最大值为（2）证明：利用均值不等式令，带入上式可得注：均值不等式的证明可以采用凸函数性质（）六、讨论函数项级数在区间上的一致收敛性。解：即函数项级数在区间上一致收敛。注：利用柯西准则或者余项就可以知道一致收敛七、设在区间上有连续的右导数，极限存在且有限。证明函数在区间上一致连续。证明：感觉这道题有点问题，因为由连续的右导数推不出函数连续，可以举出如下反例：，，但是是函数的间断点但是将条件改为导函数连续即可。一方面由存在有限可知，，积分有，即（任意小）由在上连续可知在上一致连续。则时，另一方面，由在上连续可知在上一致连续。当时，从而在上一致连续。八、

3、设正项级数发散，且，其中。证明幂级数的收敛半径。证明：显然单调递增且无界，则由公式，有，即幂级数的收敛半径。九、设，证明。证明：由，（1），（2）对，存在，当时，（3）令，于是则，当时，而故十、设在区间上连续，又设广义积分和均收敛，其中，证明含参变量广义积分关于参量一致收敛。证明：（1）对，由于收敛，故收敛。而单调且，故由阿贝尔判别法可知，在上一致收敛。（2）对，由于收敛，故收敛。而单调且，故由阿贝尔判别法可知，在上一致收敛。因此广义积分关于参量一致收敛。