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1、本科科研训练论文常微分方程的边值问题学生姓名：郭骏学号：0810030218专业：数学及其应用数学年级：08级学院：理学院【摘要】边值问题是微分方程问题的一个类型。在求解微分方程时，除了给出方程本身，往往还需给出一定的定解条件。最常见的是初值问题，即给出的定解条件为初始条件；但也有一些情况，定解条件要考虑所讨论区域的边界，如在一个区间讨论时，定解条件在区间的两个端点给出，这种定解条件称为边界条件，相应的定解问题称为边值问题。边值问题的提出和发展，与流体力学，材料力学，波动力学等密切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用。 【关键词】常微分方程边
2、值问题研究目录第一章引言1.1常微分方程的起源和发展1.2常微分方程的内容1.3常微分方程的应用1.4常微分方程的实例第二章常微分方程边值问题的研究2.1边值问题的提出2.2二阶线性常微分方程边值问题的可解性2.3特征值问题 参考文献第一章引言1.1常微分方程的起源微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。I.牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y┡=ƒ(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。20世纪以来，随着大量的边缘科
3、学诸如电磁流体学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。70年代随着数学向化学和生物学的渗透，又出现了大量的反应扩散方程。常微分方程在我国的发展中华人民共和国建立后，微分方程得到了重视和发展。培养了许多优秀的微分方程的工作者，在常微分方程稳定性、极限环、结构稳定性等方面做出了很多有水平的结果；在偏微分方程混合型刻画渗流问题的拟线性退缩抛物型、椭圆组和拟线性双曲组的间断解等方面做出了很多有水平的结果。1.2常微分方程的内容定义1凡含有参数，未知函数和未知函数导数(或微分)的方程，称为微分方程，
4、有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知数是多元方程的微分方程称作偏微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.定义式如下：F(x,y,y¢,....,y(n))=0。 定义2任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。1.3常微分方程的应用现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子
5、学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。应该说，应用常微分方程理论已经取得了很大的成就，但是，它的现有理论也还远远不能满足需要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。1.4常微分方程的实例下列方程都是微分方程(其中y,v,q均为未知函数)：(1)y=kx,k为常数；(2)(y-2xy)dx+x2dy=0；(3)mv(t)=mg-kv(t)；第一章常微分方程边值问题的研究2.1边值问题的提出求常微分方程满足给定边界条件的解的问题。亦即，
6、设常微分方程为对区间I上的点α1，α2，…,αk及值y(αi)，y┡(αi),…,y(n-1)(αi)(i=1,2,…,k,k>1)，给定了一些条件,求此方程在 I上的满足这些条件的解的问题。这些条件称为边界条件，诸αi及y(αi)、y┡(αi)、…、y(n-1)(αi)称为边值或边界值。当k=2，α1、α2是区间I的端点时,称为两点边值问题。边值问题的提出和发展，与流体力学、材料力学、波动力学以及核物理学等密切相关；并且在现代控制理论等学科中有重要应用。因为常微分方程可以解析求解的类型甚少，所以求边值问题的解也是困难的。为了适应实际问题的需求，不得
7、不采用近似解法，这样，首先需要回答：边值问题的解是否存在？是否惟一？这就是边值问题的基本论题。2.2二阶线性微分方程边值问题的可解性我们将重点研究试射法。二阶常微分方程一般可表示成如下的形式：，(2.1)边值条件有如下三类：第一类边值条件，(2.2)第二类边值条件，(2.3)第三类边值条件[19]，(2.4)其中，，，。在对边值问题用数值方法求解之前，应该从理论上分析该边值问题的解是否存在，若问题的解不存在，用数值方法计算出来的数据没有任何意义。下面的定理给出了边值问题存在唯一解的充分条件。定理设方程(2.1)中的函数及，在区域内连续，并且(ⅰ)；(
8、ⅱ)在内有界，即存在常数，使得，，则边值问题(2.1)-(2.4)的解存在且唯一。（1）试射法为了描述试射法
