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《实验八_常微分方程边值问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、实验八—边值问题的求解在2011年全国大学生数学建模邀请赛的A题的数学模型可归结为如下常微分方程组的边值问题:(1)其中，，是参数.边值条件是(2)从物理意义上考虑，可分成以下3种情况来讨论:1当梁不与地面接触时，要去掉(2)中最后一个边值条件.并且c=1，p=1，四个边值条件就惟一确定了解,记，..2当梁仅与地面是线接触时，去掉(2)中最后一个边值条件.并且c=1，这时存在一个临界值，，使得当时，四个边值条件惟一确定了解，当从1单调减到时，从单调减少到零.从单调减少到某个.故当时，存在惟一的，使得.从而解决了情况2.而当p从进一步减少时，将会小于零，
2、不再符合与水平地面接触的物理条件.而应该考虑以下“面接触”的情况.3当梁与地面是面接触时，要考虑(2)中全部五个边值条件，当确定时，五个边值条件就惟一确定了c<1,及[0，c]上方程的解.当p从单调减少到0时，从单调减少到0.故当时，存在惟一的，使得.从而解决了情况3.c是个与有关的，故这个问题是个活动边界问题，它比情况1，2的普通的边值问题更难求解.而当参数a=24，h3=1/4时就属于第3种情况.普通的边值问题求解的基本方法是打靶法.对于第1种情况，打靶法就是考虑初值，选择不同的，求解常微分方程组(1),使得.对于第2种情况，就是考虑初值，选择不同
3、的及p，求解常微分方程组(1),使得.，对于第3种情况，就是考虑初值，选择不同的及p，c，求解常微分方程组(1),使得.，.求解方法1：以上三种情况的求解皆可以通过ode45求解，得到一个MATLAB函数，输入是初值及参数中的未知量，输出是终值减去条件值，然后数值求解这个MATLAB函数零点即可得到初值及参数中的未知量，再数值求解常微分方程组的初值问题的解即可.然而求根时初始值的选取是很关键的.对于第1种情况，就是求一个一元函数的根，可以通过画图得到根的近似值作为初始值.对于第2种情况，就是求一个二元函数的根的问题，考虑到根应当是h的连续函数，故可以通
4、过逐渐减小h的值来得到根的近似初始值.具体来说，就是如对于某个值，求出了函数的根，把这个根作为对于较小的h时函数的根的近似，照此一直进行，直到求出实际的时函数的根.同理用这种方法可以求解第3种情况.在求解之前，必须要求出才能确定是哪种情况.对于第1种情况还可以直接利用MATLAB求边值问题的函数bvp4c来求解，bvp4c的完全的用法为sol=bvp4c(@Odefun,@Bcfun,Solinit,Options,p1,p2...)其中Odefun是微分方程函数，形式为dydx=odefun(x,y,parameters,p1,p2,...)其中x是
5、自变量,yis未知的列向量.parameters是未知的参数向量,p1,p2,...是已知的参数.dydx是列向量.Bcfun是自编的边值条件的残差的函数，对于二点边值问题，函数Bcfun的格式(例如)functionres=Bcfun(ya,yb,parameters,p1,p2,...)ya=[y(1),y(2),y(3)];yb=y(4);其中ya是左边值条件中的残差，yb是右边值条件的残差Solinit是你对解的初始猜测.是通过函数bvpinit得到的.Solinit=bvpinit(xinit,yinit，params);3其中xinit是自
6、变量的点列，yinit是猜测的对应的因变量的点列，yinit(:,i)是在x(i)处的解的列向量params是猜测的parameters的值.猜测的值在边界上最好是满足边值条件.当以上parameters,p1,p2之中没有的可以缺省不写.Options是通过函数bvpset设置精度等的选项.如Options=bvpset('RelTol',5.04968e-013,'AbsTol',6.33975e-013);而默认的RelTol=1e-3,AbsTol=1e-6对于第一小问，以下整个程序(可以保存为一个m文件bvp.m)的功能为给定一个a>0的值，
7、用bvp4c求解边值问题,输出右端的y值h，并画出梁的图像functionh=bvp(a)Yinit=@(x)Yini(x,a);%初始猜测的解Solinit=bvpinit(linspace(0,1,10),Yinit);%初始猜测的解的数据点Options=bvpset('RelTol',5.04968e-013,'AbsTol',6.33975e-013);%精度设置sol=bvp4c(@Odefun,@Bcfun,Solinit,Options,a);%用bvpc求边值问题xint=linspace(0,1);%取x区间上等距的点(默认为101
8、个点)Sxint=deval(sol,xint);%求这些点上方程组的值h=Sxint(2,e
