灵敏度分析——奶制品生产问题

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1、灵敏度分析——奶制品生产问题【例题】一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，1桶牛奶可以在甲车间用12小时加工成3公斤A1，或者在乙车间用8小时加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1，A2全部能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间480小时，并且甲车间每天至多能加工100公斤A1，乙车间的加工能力可以认为没有限制（即加工的能力足够大）。试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大。并进一步讨论以下三个问题。1.若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2.

2、若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？3.由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？2.线性规划模型这个问题的目标是使每天的获利最大，要做的决策时生产计划，即每天用多少桶牛奶生产A1，用多少桶牛奶生产A2。决策受到三个条件限制：原料（牛奶）供应、劳动时间、甲车间的加工能力。故求解该问题的线性规划模型建立如下。决策变量：设每天用x1桶牛奶生产A1，用x2桶牛奶生产A2。目标函数：设每天获利为z（元），x1桶牛奶生产3x1公斤A1，获利24×3x1，x2桶牛奶生产4x2公斤A2，获利16×4x2，故z=72x1+64x2

3、.约束条件：原料供应：生产A1,A2的原料（牛奶）总量不得超过每天的供应，即x1+x2≤50（桶）；劳动时间：生产A1,A2的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即12x1+8x2≤480（h）；设备能力：A1的产量不得超过甲车间设备每天的加工能力，即3x1≤100；非负约束：x1，x2均不能为负值，即x1，x2≥0.综上可得maxz=72x1+64x2;s.t.x1+x2≤5012x1+8x2≤4803x1≤100x1，x2≥0.Lingo程序：max=72*x1+64*x2;x1+x2<=50;12*x1+8*x2<=480;3*x1<=100;3.结果分析用

4、Lingo计算结果如下：Globaloptimalsolutionfoundatiteration:2Objectivevalue:3360.000 VariableValueReducedCostX120.000000.000000X230.000000.000000RowSlackorSurplusDualPrice13360.0001.00000020.00000048.0000030.0000002.000000440.000000.000000Rangesinwhichthebasisisunchanged:ObjectiveCoefficientRangesC

5、urrentAllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseX172.0000024.000008.000000X264.000008.00000016.00000RighthandSideRangesRowCurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecrease250.0000010.000006.6666673480.000053.3333380.000004100.0000INFINITY40.00000从以上运行结果来看，这个线性规划的最优解为x1=20，x2=30，最优值为

6、z=3360，即用20桶牛奶生产A1,30桶牛奶生产A2，可获最大利润3360元。目标函数可以看作“效益”，成为紧约束的“资源”一旦增加，“效益”必然跟着增长。以上计算结果中DUALPRICES给出这3种资源在最优解下“资源”增加1个单位时“效益”的增量：原料增加1个单位（1桶牛奶）时利润增长48（元），劳动时间增加1个单位（1小时）时利润增长2（元），而增加非紧约束车间甲的能力显然不会使利润增长。这里，“效益”的增量可以看作“资源”的潜在价值，经济学上称为影子价格，即1桶牛奶的影子价格为48元，1小时劳动的影子价格为2元，车间甲的影子价格为零。用影子价格的概念很容易知道

7、，用35元可以买到1桶牛奶，低于1桶牛奶的影子价格48，当然应该作这项投资。同理，聘用临时工人以增加劳动时间，付给的工资低于劳动时间的影子价格才可以增加利润，所以工资最多是每小时2元。Lingo计算结果给出了最优基不变条件下目标函数系数的允许变化范围：x1的系数为（72-8，72+24）=（64，96）；x2的系数为（64-16，64+8）=（48，72）。注意：x1系数的允许范围需要x2系数64不变，反之亦然。由于目标函数的费用系数变化并不影响约束条件，因此此时最优基不变可以保证最优解也不变，但最优值变化。用这个结果很容易知