第三章复变函数的积分（12学时）

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1、第三章复变函数的积分一、教学内容复变函数的积分的定义、性质与计算，柯西积分定理及其推广，不定积分，柯西积分公式或高阶导数公式，解析函数的无穷可微性，柯西不等式，刘维尔定理，摩勒拉定理，解析函数与调和函数的关系。二、教学目的及重难点1． 理解复变函数的积分的定义，掌握复积分的性质与计算方法。2． 掌握柯西积分定理及其等价形式和两种推广形式以及它们的应用，掌握不定积分特别是由变上限积分确定的单值解析函数，会用牛顿-莱布尼兹公式计算复定积分。3． 熟练掌握柯西积分公式与高阶导数公式，掌握解析函数的平均值定理、无穷可微性以及它的第二个等价刻划定理，掌握柯西不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理。4． 掌握

2、调和函数与共轭调和函数的概念，理解解析函数与调和函数的关系，掌握由解析函数的实部（或虚部）求虚部（或实部）的两种方法。三、建议课时安排（12学时）1．复变函数的积分的定义、性质与计算2学时2．柯西积分定理及其推广、不定积分3学时3．柯西积分公式及其推论3学时4．解析函数与调和函数的关系2学时5．习题课2学时四、作业题P141-144习题（一）第2，3，5，9，10，15，16题，其余为练习题。思考题P144-146习题（二）第一节、柯西定理1、复变函数的积分：设在复平面C上有一条连接及Z两点的简单曲线C。设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是在C上的连续函数。其中u(x,y)及v(x,

3、y)是f(z)的实部及虚部。把曲线C用分点分成n个更小的弧，在这里分点是在曲线C上按从到Z的次序排列的。如果是到的弧上任意一点，那么和式，可以写成或者在这里分别表示的实部与虚部。按照关于实变函数的线积分的结果，当曲线C上的分点的个数无穷增加，而且时，上面的四个式子分别有极限：这时，我们说原和式有极限这个极限称为函数f(z)沿曲线C的积分，记为于是，我们有如果C是简单光滑曲线：，并且，那么上式右边的积分可以写成黎曼积分的形式，例如其中第一个可以写成，因此，我们有我们可以看到，把dz形式地换成微分，就直接得到上式，因此有，当是分段光滑简单曲线时，我们仍然可以得到这些结论。复变函数积分的基本性质

4、：设f(z)及g(z)在简单曲线C上连续，则有（1）（2）（3），其中曲线C是有光滑的曲线连接而成；（4）其中如果曲线用方程：表示，那么曲线就由给出。即积分是在相反的方向上取的。如果C是一条简单闭曲线，那么可取C上任意一点作为取积分的起点，而且积分当沿C取积分的方向改变时，所得积分相应变号。（5）如果在C上，

5、f(z)

6、

7、分定理１.柯西积分定理从上一节所举的例子来看，例３.１（２）的被积函数在单连通区域平面上处处解析，它沿连接起点及终点的任何路径的积分值都相同，即积分与路径无关，或者说沿平面上任何闭曲线的积分为零；例３.２的被积函数只以为奇点，即在“平面除去一点”的非单连通区域内处处解析，但是积分,其中表圆周，即在此区域内积分与路径有关；例３.５的被积函数在单连通区域平面上处处不解析（第二章习题4（３）），而积分与连接点及终点的路径有关，即沿平面上任何闭曲线的积分，其值不恒为零。由此可见，复积分的值与路径无关的条件，或沿区域内任何闭曲线积分值为零的条件，可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通性有关..18

8、25年柯西给出了如下的定理，肯定的回答了上述问题，它是研究复变函数的钥匙，常称为柯西积分定理。定理３.３设函数在平面上的单连通区域内解析，为内任一条周线，则1851年，黎曼在附加假设“在内连续”的条件下，得到如下证明：黎曼证明令，由公式（3.1），而在内连续，导致在内连续，并适合方程：,．由格林定理，　，故得柯西将复变函数作为复变函数的一元函数来研究．他定义解析函数为在区域内存在并连续．由柯西积分定理，可以得到：定理３.４　　设函数在平面上的单连通区域内解析，为内任一闭曲线(不必是简单的),则证因为总可以看成区域内有限多条周线衔接而成．再由复积分的基本性质(3)及柯西积分定理3.3，即可得

9、证．推论３.５　　设函数在平面上的单连通区域内解析，则在内积分与路径无关．即对内任意两点与，积分之值，不依赖于内连接起点与终点的曲线．证　　设与是内连接起点与终点的任意两条曲线．则正方向曲线与负方向曲线就衔接成内的一条闭曲线．于是，由定理３.４与复积分的基本性质(３)有因而.．2.柯西积分定理的古莎证明　3.不定积分　　柯西积分定理３.３已经回答了积分与路径无关的问题．这就是说，如在单连通区域内函数解析，则沿内任一曲线的