数列专题2 求数列的通项公式,方法,习题,答案。

《数列专题2 求数列的通项公式,方法,习题,答案。》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、数列专题2求数列的通项公式一．等差数列的性质：1．当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.Sn/n=d/2*n+a1-d/2,故数列｛Sn/n｝是等差数列。an=An+B,SN=An2+Bn,数列为等差数列2．若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。3．当时,则有，特别地，当时，则有.二.等比数列的性质：（1）当时，则有，特别地，当时，则有.如（1）在等比数列中，，公比q是整数，则=___（答：512）；(2)当时，，这里，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判

2、断数列是否为等比数列。如若是等比数列，且，则＝（答：－1）Sn=aqn-a数列为等比数列。三、数列通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。如已知数列试写出其一个通项公式：__________（答：）⑵已知（即）求，用作差法：。如：①已知的前项和满足，求（答：）；②数列满足，求（答：）⑶已知求，用作商法：。如数列中，对所有的都有，则______（答：）⑷若求用累加法：。如已知数列满足，，则=________（答：）⑸已知求，用累乘法：。如已知数列中，，前项和，若，求（答：）注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，

3、当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。如数列满足，求（答：）7四、1、已知数列递推式求,用构造法(构造等差、等比数列)：形如,,，an=kan-1+an(，a为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后,再求.⑴转化为：an+x=K(an-1+x)求出X=b/(k-1),k=1时无解，｛an}为等差数列，d=b,可以直接写出。已知，求（答：）；⑵an=Kan-1+AbN转化为：an+xbN=K(an-1+xbN-1)求出X=A/(k/b-1),k=b时无解，｛an/b

4、n}为等差数列，d=A,可以直接写出。已知，求（答：）⑶转化为：an+An+B=K(an-1+A(n-1)+B)求出A=a/(k-1),B=b/(k-1)+ka/(k-1)2，k=1时无解，只能用累加法。⑷an=kan-1+a.n转化为：an+A(n+1)+B=K(an-1+An+B)同上,求出A,B(必须设出B,它不为0）2、形如的递推数列都可以用“取倒数法”求通项.如①已知，求（答：）；②已知数列满足=1，，求（答：）3、数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位相减；⑤分裂通项法.例1：已知数列满足，求数列的通

5、项公式。解：法一：等比数列法：设④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得⑤由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。7法二：累加法：，两边同除以2n+1得到：an+1/2n+1-an/2n=(3/2)×an/2n-an-1/2n-1=(3/2)×(5/2)n-1①.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。a3/23-a2/22=(3/2)×(5/2)2②a2/22-a1/

6、21=(3/2)×(5/2)1③以上式子想家得到：an/2n-a1/21=(3/2)×(5/2)1+(3/2)×(5/2)2+......(3/2)×(5/2)n-1=3/2((5/2)(5/2)n-1-1)/(5/2-1)整理后答案同上。例2.已知数列的前n项和Sn满足(Ⅰ)写出数列的前3项(Ⅱ)求数列的通项公式．解：⑴当n=1时,有：S1=a1=2a1+(-1)a1=1；当n=2时,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；当n=3时,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；综上可知a1=1,a2=0,a3=2；⑵由已知得：化简得：

7、上式可化为：故数列{}是以为首项,公比为2的等比数列.故∴数列{}的通项公式为：.例3．已知数列{}中，，.求数列【解析】依题有，即，可变形为，可知数列是以为首项，为公比的等比数列。从而五、练习题：1、已知，求（答：）；72、已知，求（答：）；3、已知{}是递增数列，且对任意n∈N*，都有恒成立，则实数γ的取值范围是A.γ>0B.γ<0C.γ＝０D.γ>-3解3、D依题意，恒成立，.则2n+1+γ>0γ>-(2n+1)恒成立，-(2n+1)≤-3，故满足条件的γ的取值范围是γ>-3.4.设数列{an}的前项的和Sn=（an-1）(n)．(Ⅰ)求a1；a2；　(

8、Ⅱ)求证数列{an}为等比数列．1.解