抽屉原理在中学数学竞赛解题中的应用

《抽屉原理在中学数学竞赛解题中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、抽屉原理在中学数学竞赛解题中的应用第23卷第6期2010年l2月高等函授(自然科学版)JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)VoI.23No.62OlO?中小学教学?抽屉原理在中学数学竞赛解题中的应用朱欢(华中师范大学数学与统计学学院,武汉430079)摘要:本文介绍了抽屉原理的基本形式,阐述了如何使用抽屉原理,并通过例子着重谈论了抽屉原理中抽屉的一些构造方法.关键词:组合数学;数论;抽屉原理;抽屉构造中图分类号:O157文献标识码:A文章编号:1006—7353(2010)06—00

2、75—03抽屉原理也叫鸽笼原理,它是德国数学家狄利克雷(P.G.T.Dirichlet)首先提出来的,因此也称作狄利克雷原理.它是离散数学中的一个重要原理,在数论和组合论中有着广泛的应用.用它可以解决生活中遇到的很多有趣的问题,并且常常能够得到令人惊奇的结果,因此数学竟赛中经常选用这方面的题目.1抽屉原理的基本形式与构造1.1基本形式(1)把+1个元素分为n个集合,那么必有一个集合中含有两个或两个以上的元素;(2)把q.+q:+…+q一+1元素分为个集合,那么必有一个(1<i<),在第i个集合中元素的个数≥q.1.2基本构造利用抽屉原理解题过程

3、中首先要注意指明什么是元素,什么是抽屉,元素进入抽屉的规则是什么,以及在同一个盒子中,所有元素具有的性质.构造抽屉是用抽屉原理解题的关键.有的题目运用一次抽屉原理就能解决,有的则需反复用多次;有些问题明显能用抽屉原理解决,但对于较复杂的问题则需经过一番剖析转化才能用抽屉原理解决.下面用具体的例题来介绍利用抽屉原理解题的方法.2利用抽屉原理解题的常用方法2.1利用整数构造抽屉例1某地2009年共出生366人,试证明:这366人中至少有2人是生日.证明2009年共365天,把每一天视为一个抽屉,由抽屉原理,必有一天中至少有两名婴儿出生,即他们生日相同.2.2用

4、余数制造抽屉例2求证:从任意给定的2010个自然数",n:,…,a....中可以找到若干数,使得它们的和是2010的倍数.证明以0,1,…,2009,即被2010除的余数分类制造抽屉,将下列数:S一n,S:一n+口2,S.一a1+口2+口3,…S2o1o一口1+口2+…+n2010作为抽屉中的元素.若上述2010个数中有一个是2010的倍数,则问题得证;否则,根据抽屉原理,至少存在两个数S,5(它们的差仍为n.,a:,…,口....中若干数的和),它们被2010除的余数相同,则它们的差s一s,即6/,口,…,口.中若干数的和能被2010整除,命题得证.2.

5、3利用几何元素制造抽屉例3在正方形内任取五个点,证明:总可以找到两点,使得它们之间距离不大于正方形对角线长的一半.收稿日期:2010—10—23.作者简介:朱欢(1987一),男,湖北省孝感市人,硕士研究生,研究方向:数学学科教学论.75第23卷第6期2010年12月高等函授(自然科学版)JournalofHigherCorrespondenceEducation(NaturalSciences)Vo1.23No.62O1O证明如图1,设四边形ABCD为正方形,取各边中间E,F,G,H,连接EF,GH交于点I,则将正方形分成同样大小的四个四个小正方形,看做

6、是四个抽屉,由抽屉原理,至少有一个小正方形至少包含其中的两点,而这两点的距离显然小于这个小正方形的对角线,即正方形ABCD对角线的一半,命题得证.图12.4利用分类制造抽屉例449名学生回答3个问题,每个问题的得分是0,1….,7,证明:存在两个学生A,B对于每个问题,A的得分不少于B的得分.证明设A,B在三个题目的得分为A(n,a2,口3),B(6l,bz,b3),即证:a≥6(—l,2,3).若存在两位同学在一二题的得分相同,则结论成立;否则,将一二题得分用数对(,)表示,所有得分点情况如图2所示,将四条折线以及一个正方形区域作为五个抽屉,49个得分点

7、中位于正方形ABCD中的点最多只有16个,所以在折线L,L2,L3,L4至少有49～16—33个得分点,则由抽屉原理,必有一条折线上至少有9个得分点,即至少有9个同学在第一二题的得分上满足ai≥b,再由抽屉原理,这9个同学中必有两个同学在第3题的等分相同,即命题得证.l.jZ2…一_'1l^L,'D;.}一h1_¨.}i'～O§liS'?图22.5利用集合制造抽屉例5在1,4,7,1O,13,…,100中任意选出762O个数,其中至少有不同的两组数,其和等于104,试证明之.[1证明给定的数共有34个,把这些数分成如下如下18个不相交的集合:{1),(52

8、),{4,100},{7,97},…,{49,55),且把它看成是