第一章 函数与极限

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1、第一章函数与极限第1节函数教学目的：理解函数的概念，掌握函数的各种性态，为研究微积分做好准备教学重点：函数的概念，函数的各种性态教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解教学内容：1.函数的定义：设和是两个变量，是一个给定的数集，如果对于给定的每个数，变量按照一定法则总有确定的数值和它对应，则称是的函数，记作，数集叫做这个函数的定义域，叫做自变量，叫做因变量。的取值范围叫函数的值域。2.定义域的求法原则（1）分母不为零（2）（3）（4）（5）同时含有上述四项时，要求使各部分都成立的交集例1　求的定义域解

2、：且且或定义域为3.分段函数用两个以上表达式表达的函数关系叫分段函数如称为分段点4.复合函数若，当的值域落在的定义域内时称是由中间变量u复合成的复合函数。例2可复合成注意：就不能复合。例3可以看作是复合成的复合函数。1.反函数设函数的定义域为，值域为。对于任意的，在上至少可以确定一个与对应，且满足。如果把看作自变量，看作因变量，就可以得到一个新的函数：。我们称这个新的函数为函数的反函数，而把函数称为直接函数。应当说明的是，虽然直接函数是单值函数，但是其反函数却不一定是单值的。例如，的定义域为，值域。任取

3、非零的，则适合的的数值有两个：。所以，直接函数的反函数是多值函数：。如果把限制在区间上，则直接函数，的反函数是单值的。并称为直接函数，的反函数的一个单值分支。显然，反函数的另一个单值分支为。一个函数若有反函数，则有恒等式。相应地有。例如，直接函数的反函数为，并且有，。由于习惯上表示自变量，表示因变量，于是我们约定也是直接函数的反函数。反函数与，这两种形式都要用到．应当说明的是函数与它的反函数具有相同的图形。而直接函数与反函数的图形是关于直线对称的。1.函数的性质（1）有界性若有正数存在，使函数在区间上恒

4、有，则称在区间上是有界函数；否则，在区间上是无界函数。如果存在常数（不一定局限于正数），使函数在区间上恒有f(x)M，则称在区间上有上界，并且任意一个的数都是在区间上的一个上界；如果存在常数，使在区间上恒有，则称在区间上有下界，并且任意一个的数都是在区间上的一个下界。显然，函数在区间上有界的充分必要条件是在区间上既有上界又有下界。（2）单调性设函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为严格单调增加（或严格单调减少）的函数。如果函数在区间上的任意两点，都有（或），则称在区间上为广义单调增加（或广义

5、单调减少）的函数。广义单调增加的函数，通常简称为单调增加的函数或非减函数；广义单调减少的函数则简称为单调减少的函数或非增函数。例如，函数在区间内是严格单调减少的；在区间内是严格单调增加的。而函数在区间内都是严格单调增加的。（3）奇偶性若函数在关于原点对称的区间上满足（或）则称为偶函数（或奇函数）。偶函数的图形是关于轴对称的；奇函数的图形是关于原点对称的。例如，在定义区间上都是偶函数。而、在定义区间上都是奇函数。（4）周期性对于函数，如果存在一个非零常数,对一切的均有，则称函数为周期函数。并把称为的周期。

6、应当指出的是，通常讲的周期函数的周期是指最小的正周期。对三角函数而言，都是以为周期的周期函数，而、则是以为周期的周期函数。关于函数的性质，除了有界性与无界性之外，单调性、奇偶性、周期性都是函数的特殊性质，而不是每一个函数都一定具备的。1.初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数和常数这6类函数叫做基本初等函数。这些函数在中学的数学课程里已经学过。图1-1（1）幂函数它的定义域和值域依的取值不同而不同，但是无论取何值，幂函数在内总有定义。当或时，定义域为。常见的幂函数的图形如图1-1所示。

7、（2）指数函数它的定义域为，值域为。指数函数的图形如图1-2所示．（3）对数函数定义域为，值域为。对数函数是指数函数的反函数。其图形见图1-3。在工程中，常以无理数e＝2.718281828…作为指数函数和对数函数的底，并且记，而后者称为自然对数函数。图1-3图1-2（4）三角函数三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数和余割函数。其中正弦、余弦、正切和余切函数的图形见图1-4。图1-4图1-5（5）反三角函数反三角函数主要包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数和反余切函数等．它们的图

8、形如图1-5所示。（6）常量函数为常数（为常数）定义域为，函数的图形是一条水平的直线，如图1-6所示。图1-6通常把由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的并用一个解析式表达的函数，称为初等函数。例如，，…都是初等函数。初等函数虽然是常见的重要函数，但是在工程技术中，非初等函数也会经常遇到。例如符号函数，取整函数等分段函数就是非初等函数。在微积分运算中，常把一个初等函数分解为基本初等函数来研究，学会分析初等函数的结构是十