第一章 函数与极限1.3

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1、第三节 函数极限与连续一、函数极限内容网络图 二、内容与要求1.理解函数极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.2.  掌握函数极限的性质及四则运算法则3.  掌握函数极限存在的夹逼准则，并会利用它求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.4.  理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限.5.  理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.6.  了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.  重点函数极限的性质

2、及四则运算法则、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理） 难点函数极限的概念、函数极限的性质、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法、用等价无穷小求极限. 三、概念、定理的理解与典型错误分析1．函数极限的概念定义1.10。定义1.11把1中“”换成“”。定义1.12把1中“”换成“”。定理1.4且定义1.13设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A，，都有。定义1.14 设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A，时，都有。此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成定义1.15设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数，当时，都有。此时也可用或表

3、示右极限。因此可写成。定理1.5且该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。定义1.16时，都有。此时称时，是无穷大量。而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。定义1.17。当时，都有。读者同理可给出定义。注：（常数）与的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。定义1.18。称当是无穷小量。这里的可以是常数，也可以是  。定理1.6。其中。

4、定义1.19若时，都有，称时是有界量。 2．无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系定义1.20设，（这里可以是常数，也可以是，以后我们不指出都是指的这个意思）（1）若，称当时是的高阶无穷小量，记作。（2）若，称时是的同价无穷小量。（3）若，称时是的等价无穷小量，记作，此时（2）式也可记作。（4）若，称时是的k阶无穷小量。由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入若。记作，如果均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果均是无穷大量，称为等价无穷大量；如果既不是无穷小也不是无穷大，我们称为等价量。例如 ，则。注：A不能为零，若A=0，不可能和0等价。无穷小量的性质：性质1.8

5、若均为无穷小量，则（i）其中均为常数。（ii）。性质1.9若时是有界量，，则。无穷大量的性质：性质1.9 有限个无穷大量之积仍是无穷大量。性质1.10有界量与无穷大量之和仍是无穷大量。无穷小量与无穷大量之间的关系：定理1.7 若；若。 3．函数连续的概念。定义1.21 若处连续。用语言可写为定义 设的某邻域内有定义，若时，都有，称连续。用函数值增量形式可写为定义1.22 若，称在处连续。若,称处左连续。若称处右连续。定理1.8处连续处既是左连续又是右连续。如果处不连续，称为的间断点。间断点的分类：（1）若点。若为函数的可去间断点，只须补充定义或改变函数在该点连续。但须注意，这时函数

6、与已经不是同一个函数但仅在处不同，在其它点相同。我们正是利用这一性质去构造一个新的函数，使在某闭区间上处处连续，因而有某种性质。当时，也具有这种性质。而时，，所以在的范围内也具有这种性质，从而达到了我们的目的。例如 ，但则在处连续，但与定义域不同，虽然，又如知。设则在处连续，虽然与定义域相同，但在处，两个函数值不同，知与不是同一函数，但仅在不同，其余点函数值处处相同。（2）若但，称为的跳跃间断点，称的跳跃度。（1）（2）两种类型的特点是左右极限都存在，我们统称为第一类间断点。（3）若处，左、右极限至少有一个不存在，我们称。若，我们也称为的无穷型间断点，属于第二类间断点。 4．函数极

7、限的性质在下述六种类型的函数极限：（1）    （2）    （3）   （4） （4）    （6）它们具有与数列极限相类似的一些性质，我们以为例，其它类型极限的相应性质的叙述只要作适当修改就可以了。性质1.11（唯一性）若极限存在，则它只有一个极限。性质1.12（局部有界性）若极限存在，则存在的某空心邻域，使在内有界。注意：存在，只能得出在的某邻域内有界，得不出在其定义域内有界。性质1.13 若，则存在的某空心邻域，使时，都有。性质1.14（局部保号性）若，则对任