第一章 函数与极限(三)

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1、第一章函数与极限授课题目：§1.5极限运算法则§1.6极限存在准则两个重要极限教学目的与要求：1.理解无穷大和无穷小的概念，掌握无穷小的性质，了解无穷小与无穷大的关系；2.掌握极限的运算法则，并能应用法则求一些简单极限。教学重点与难点：重点：1.理解无穷小、无穷大的概念，了解无穷小与无穷大的关系；2.理解极限运算法则的意义，熟练掌握其应用.难点：极限运算法则的应用讲授内容：§1.5极限运算法则已学极限的有关内容复习：1、定义2、极限与无穷小若3、极限与左右极限若练习：１、２、３、无穷小的有关内容：1、定义2、无穷小的倒数3、无穷小的和4、无穷小的乘积5、有界函数与无穷小乘积3、4、

2、5三项即下面定理给出的结论：定理1有限个无穷小的和也是无穷小，定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小，例8求解：把看作与的乘积，由于当时为无穷小，而是有界函数，有=0推论1常数与无穷小的乘积是无穷小，推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小。极限的四则运算法则：如果那么（1）（2）（3）若又有，则极限的四则运算法则由书上定理3给出，证明过程见P43，皆利用极限与无穷小关系证得。注:对数列极限，有类似的结论。见定理4（教材P.45）。思考题：如果存在，不存在，能否判定必定不存在？函数的不等式与极限的不等式：定理5如果，而则证：令，则，则定理3有由第三节定理3推论，有，即。例1求解注：若是一多

3、项式，则。例2求。解注：若是多项式，则=。若呢？注意此时商的运算法则不能用，设法消去零因子。例3求。解当时，分子及分母的极限都是零，于是分子、分母不能分别取极限，因为分子及分母有公因子，而时，可约去这个不为零的公因子，所以例4求解分母的极限为零，不能用商的运算法则。但，则例5求。解例6求。例7求。解应用例6结果及无穷大与无穷小关系，有=由例5、6、7有下面一般结果：(m,n非负整数)例8求解当时，分子及分母的极限都不存在，故关于商的极限的运算法则不能应用。如果把看作与的乘积，由于当时为无穷小，而是有界函数，根据本节定理2，有=0*思考题：下面极限如何求？（1）（3）（2）（1）解（

4、2）解===。定理6（复合函数的极限运算法则）设函数是由与复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，且，当时，有，则定理6表明，满足定理条件时，求极限可用变量代换的方法求。§6极限存在准则两个重要极限一、夹逼定理准则1如果数列、、满足下列条件：（1）），（2）那么数列的极限存在，且准则1’如果（1）当，（或）时，（2），那么存在，且等于上面所述称为夹逼定理。*补充例题：求[解答]，由夹逼准则得　　　　　　　　　＝０*补充例题：求[解答]由<=，又且，由夹逼准则得　　　　　　　　　＝e*补充例题：__[解答]且又由夹逼原则可得原式准则2（单调有界法则）单调有界数列必有极限注意：利用准则

5、1可以证明下面的重要极限利用准则2可以证明重要极限*补充例题：B题二、两个重要的极限1．注：此重要极限有两个特征：第一，在给定的极限过程中，分子、分母均为无穷小量。简记为“”型；第二，正弦符号下的变量与分母中的变量完全相同。只要所求极限符合这两个特征就可以判断其极限为1。在计算极限时，我们可以通过恒等变形将其变为具有这两个特征的形式，以便利用此重要极限的结果。例1求解例2求解例3求解令2．注：此重要极限也有两个特征：第一，对于给定的极限过程，底数为“1+无穷小”的形式，这一给定的极限过程可以是，也可是，甚至可以是单边的极限过程；第二，指数在给定的极限过程下为无穷大并且是底数中无穷小

6、的倒数。满足这两个条件的极限必等于e。例4求解==补充例1求。解补充例2求分析原式==本例也可以利用以下列方法运算：原式：小结求极限方法：１、左、右极限２、无穷小与无穷大３、有界量与无穷小量４、四则运算法则５、抓大头６、变量替换７、两个重要极限特别注意：第一个重要极限的本质：⑴类型：；⑵结构：；⑶此极限与过程有关。第二个重要极限的本质：⑴类型：；⑵结构：；⑶与极限过程有关。提问：两个重要极限公式各有怎样的特征？注：打*号内容为选讲内容。课外作业：P45:1,2,3;P56:1,2,4