能被奇数整除的整数特征研究

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1、万方数据第24卷第6期2002年12月湖州师范学院学报J01l刊ofHuzhou‰bCouegev01．24No．6Dec．．2002能被奇数整除的整数特征研究。朱卫平(台州学院初教系浙江台州317000)摘要：用数的整除特征去判断数的整除问题是数论中的重要方法．在广泛使用的20以内的部分数的整除特征基础上，根据其末几位数字或将大数分拆成小数之和或差等特点，发现能被奇数(aI．a2，a7，a9)整除的数的特征是这个数去掉末位数字后的数，与末位数的若干倍的和或差能被奇数整除．而其中的若干倍按照其末位数字分类．每一类构成等差数列．关键词：奇数，整除，特征，充分性，必要性中图分类号：0156文献标

2、识码：A文章编号：1009一1734(2002)06—0021—041整除问题的背景不做除法，判断一个整数能否被另一个整数整除一直是数论中一个饶有兴趣的问题．这就需要利用数的整除特征去判断．目前常用的数的整除特征一般指的是20以内的部分数，其中能被2或5整除的数的特征是看这个数的末～位数，能被4或25整除的数的特征是看这个数的末两位数，能被9或3整除的数的特征是看这个数的各个数位上的数的和，能被7、Il或13整除的数的特征是看这个数的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差(或反过来)．20以内数的整除特征是看末一位数或看末二位数或将大数分拆成小数的和或差．根据此特点本文又对100以内的部

3、分整数整除特征逐一论证，¨J并加以归纳推广，结果发现任意一个整数能被末位数字是l、3、7、9整除的整数特征可按照末位数字分成四类，每一类有一定的规律．2奇数的整除特征设整数Ⅳ的末位数字是口o，M是Ⅳ去掉末位数字后所得的数，则，v=10×M+口o．命题l一个数能被i整除的数的特征是：这个数去掉末位数字后的数，与。倍的末位数之差能被五整除．证充分性：若瓦I(M—o×口o)，则瓦IⅣ．．由olI(肘一口×口o)，得M一口×口o=口l×

4、

5、}(

6、

7、}为整数)，即肘=瓦×蠡+口×咖，10M+。o=lO×(口l×尼+口×。o)+血o=口l×后×lO+口o×(10×口+1)=口l×后×lO+口o×口l，即

8、，v=口l×后×10+oo×口I，而ol×露×lO+口o×口l能被口I整除，故ollⅣ．必要性：若口llⅣ，则口lI(M一口×口o)．因为J7、，=lo×M+口o，则。收稿日期：2002—03—01作者简介：朱卫平(1sr71一)，女，浙江临海人，台州师范学院初教系讲师．研究方向：初等数论万方数据22湖州师范学院学报第24卷10×M=Ⅳ一oo，10×(M一口×口o)=10×M—10×口×口o=lO×埘+口。一口。一10×口×口o=(10×肘+口o)一Ⅱo×(10口+1)=Ⅳ一口o×口1．又瓦fJ7＼，，瓦I瓦，故面Ilo×(M—o×Ⅱo)，又(瓦，2)=1，(瓦，5)=l，所以(面，lo)=

9、l，所以面l(肘一o×oo)．见表1．表1个位数字是1的整数整除特征112l314l5161718l91—1—2—3—4—5—6—7—8—9其中E当d表示能被ll整除的数的特征是：这个数去掉末位数后的数与l倍的末位数之差能被ll整除，其它类同．例l判断294能否被21整除．解294去掉末位数字4，得29，29减去末位数字4的2倍8后，得2l，2l

10、21．故2l294．命题2一个数能被瓦整除的数的特征是：这个数去掉末位数字后的数与(口+1)倍的末位数之和能被口。整除．证充分性：若丽l(M+(口+1)×口o)，则丽

11、Ⅳ．由口9l(肘+(口+1)×口o)，得M+(口+1)×口o=口9×J

12、}(后为

13、整数)，M=口9×七一(口+1)×口o，“Ⅳ=lO肘+口o=10(口9×后一(口一1)×口o)+口o=口9×lO×七一口o×(10×(口+1)一1)=口9×10×后一口9×口o，故口9lⅣ．必要性：若面lJ7、r，则面f(舾+(口+1)×口o)．由丽lⅣ，则Ⅳ=lOM+口o=口9×忌，10肘=口9×．j}一口o，10(M+(口+1)×口o)=口9x壳一口o+10×(口+1)×口o=哟×七一口o×(10×(口+1)一1)=丽×J}一咖×面．又(丽，2)=l，(丽，5)=1，所以(面，lo)=l，故面IⅣ．见表2．表2个位数字是9的整数整除特征9192939495969798999+1+2+3+

14、4+5+6+7+8+9+lO其中卜竿引表示能被29整除的数的特征是：这个数去掉末位数字后的数与3倍的末位数之和L—_=￡：U能被29整除，其余类同．例2判断4089能否被29整除?解4089去掉末位数字9，得到408，加上末位数字9的3倍27后，得435，去掉末位数字5，得到43，加上末位数字5的3倍15得到58，2958，因此294089．命题3一个数能被面整除的数的特征是：这个数去掉末位数字后，与(3口+