2015届高考数学第一轮知识点复习学案20

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1、§4.5　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)振幅周期频率相位初相AT＝f＝＝ωx＋φφ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示.xωx＋φ0π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤如下：1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)作函数y＝sin(x－)在一个周期内的图象时，确定的五点是(0,0)，(

2、，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)这五个点．(　×　)(2)将y＝3sin2x的图象向左平移个单位后所得图象的解析式是y＝3sin(2x＋)．(　×　)(3)y＝sin(x－)的图象是由y＝sin(x＋)的图象向右移个单位得到的．(　√　)(4)y＝sin(－2x)的递减区间是(－－kπ，－－kπ)，k∈Z.(　×　)(5)函数f(x)＝sin2x的最小正周期和最小值分别为π，0.(　√　)(6)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　√　)2．把函数y＝sin(x＋)图

3、象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为(　　)A．x＝－B．x＝－C．x＝D．x＝答案　A解析　将y＝sin(x＋)图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin(2x＋)；再将图象向右平移个单位，得到函数y＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－)，x＝－是其图象的一条对称轴方程．3．(2013·四川)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是(　　)A．2，－B．2，－C．4，－D．4，答案　A解析　T＝

4、－，T＝π，∴ω＝2，∴2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，又φ∈，∴φ＝－，选A.4．设函数f(x)＝cosωx(ω>0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于(　　)A.B．3C．6D．9答案　C解析　由题意可知，nT＝(n∈N*)，∴n·＝(n∈N*)，∴ω＝6n(n∈N*)，∴当n＝1时，ω取得最小值6.5．已知简谐运动f(x)＝2sin(

5、φ

6、<)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为__________答案　6，解析　由题意知1＝2sinφ，得

7、sinφ＝，又

8、φ

9、<，得φ＝；而此函数的最小正周期为T＝2π÷＝6.题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换例1　设函数f(x)＝sinωx＋cosωx(ω>0)的周期为π.(1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．思维启迪　将f(x)化为一个角的一个三角函数，由周期是π求ω，用五点法作图要找关键点．解　(1)f(x)＝sinωx＋cosωx＝2(sinωx＋cosωx)＝2sin(ωx＋)，又∵T＝π，∴＝π，即ω＝

10、2.∴f(x)＝2sin(2x＋)．∴函数f(x)＝sinωx＋cosωx的振幅为2，初相为.(2)令X＝2x＋，则y＝2sin＝2sinX.列表，并描点画出图象：x－X0π2πy＝sinX010－10y＝2sin020－20(3)方法一　把y＝sinx的图象上所有的点向左平移个单位，得到y＝sin的图象，再把y＝sin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象，最后把y＝sin上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y＝2sin的图象方法二　将y＝sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来

11、的倍，纵坐标不变，得到y＝sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移个单位，得到y＝sin2＝sin的图象；再将y＝sin的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin的图象．思维升华　(1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”

12、．　已知函数f(x)＝3sin，x∈R.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？解　(1)列表取值：xππππx－0ππ2πf(x)030－