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时间:2018-07-28
《北京四中 高考数学总复习:知识讲解_直线、平面垂直的判定和性质(基础)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、直线、平面垂直的判定和性质编稿:孙永钊审稿:【考纲要求】1、掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理;2、掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理.3、能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。【知识网络】直线、平面垂直判定定理性质定理线面垂直面面垂直判定定理性质定理【考点梳理】考点一、直线与平面垂直的判定1、定义:如果直线与平面α内的任意一条直线都垂直,则直线与平面α垂直;2、判定定理:(1)内容:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直;(2)符合语言:3、证明直线和平面垂直的常用方法有:(1)利用判定定理;(2)利用平行线垂直于平面的
2、传递性(3)利用面面平行的性质(4)利用面面垂直的性质。要点诠释:当直线和平面垂直时,该直线垂直于平面内的任一直线,常用来证明线线垂直。考点二、直线与平面垂直的性质1、如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。2、如果两条平行线中有一条垂直于一个平面,那么另外一条也垂直于这个平面。考点三、平面与平面垂直的判定1、二面角的有关概念(1)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;(2)二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。2、平面与平面垂直(1)定义:如果两个平面所成的二面角是直二
3、面角,就说这两个平面互相垂直;(2)判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直;(3)符号语言:3、证明面面垂直的主要方法是:①利用判定定理。在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线,充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边,勾股定理等结论。②用定义证明。只需判定两平面所成二面角为直二面角。③客观题中,也可应用:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于第三个平面。考点四、平面与平面垂直的性质1、判定定理:若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 2、符号语言:要点诠释:立体几何中垂直问题的证明,通常是从线线垂直切入,然后向线面
4、垂直或面面垂直延伸。【典型例题】类型一、直线与平面垂直的判定例1、如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在平面,M,N分别是AB,PC的中点.(1)求证:MN⊥CD;(2)若∠PDA=45°.求证:MN⊥平面PCD.【证明】(1)连接AC,AN,BN,∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC,在Rt△PAC中,N为PC中点,∴AN=PC.∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥PB,从而在Rt△PBC中,BN为斜边PC上的中线,∴BN=PC.∴AN=BN,∴△ABN为等腰三角形,又M为底边的中点,∴MN⊥AB,又∵AB∥CD,∴MN⊥CD.
5、(2)连接PM、CM,∵∠PDA=45°,PA⊥AD,∴AP=AD.∵四边形ABCD为矩形.∴AD=BC,∴PA=BC.又∵M为AB的中点,∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.又N为PC的中点,∴MN⊥PC.由(1)知,MN⊥CD,PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD.【总结升华】证明线面之间的垂直关系,要注意在各个阶段以某一直线为主线进行推理,以使推理过程清晰、明朗.举一反三:【变式】【高清课堂:直线、平面垂直的判定与性质例2】如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF//AC,AB=,CE=EF=1(Ⅰ)求证:AF//平面BDE;
6、(Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE;证明:(Ⅰ)设AC与BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1,所以四边形AGEF为平行四边形所以AF∥EG因为EG平面BDE,AF平面BDE,所以AF∥平面BDE(Ⅱ)连接FG,因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.类型二、直线与平面垂直的性质例2、如图所示,平面,点C在以AB为直径的⊙O上,,,点
7、E为线段PB的中点,点M在上,且∥.(Ⅰ)求证:平面∥平面PAC;(Ⅱ)求证:平面PAC平面;【解析】(Ⅰ)证明:因为点E为线段PB的中点,点为线段的中点,[来源:学科网]所以∥.因为平面,平面,所以∥平面PAC.因为∥,因为平面,平面,所以∥平面PAC.因为平面,平面,,所以平面∥平面PAC.(Ⅱ)证明:因为点C在以AB为直径的⊙O上,所以,即.因为平面,平面,所以.因为平面,平面,,所以平面.因为平面,所以平面PAC平面.【总结升华】(1)当两个平面垂
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