北京四中 高考数学总复习：知识讲解_直线、平面垂直的判定和性质(基础)

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1、直线、平面垂直的判定和性质编稿：孙永钊审稿:【考纲要求】1、掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；2、掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理．3、能运用公理、定理和已经获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题。【知识网络】直线、平面垂直判定定理性质定理线面垂直面面垂直判定定理性质定理【考点梳理】考点一、直线与平面垂直的判定1、定义：如果直线与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线与平面α垂直；2、判定定理：（1）内容：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；（2）符合语言：3、证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用平行线垂直于平面的

2、传递性（3）利用面面平行的性质（4）利用面面垂直的性质。要点诠释：当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直。考点二、直线与平面垂直的性质1、如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。2、如果两条平行线中有一条垂直于一个平面，那么另外一条也垂直于这个平面。考点三、平面与平面垂直的判定1、二面角的有关概念（1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。2、平面与平面垂直（1）定义：如果两个平面所成的二面角是直二

3、面角，就说这两个平面互相垂直；（2）判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；（3）符号语言：3、证明面面垂直的主要方法是：①利用判定定理。在审题时要注意直观判断哪条直线可能是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理等结论。②用定义证明。只需判定两平面所成二面角为直二面角。③客观题中，也可应用：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面。考点四、平面与平面垂直的性质1、判定定理：若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面 2、符号语言：要点诠释：立体几何中垂直问题的证明，通常是从线线垂直切入，然后向线面

4、垂直或面面垂直延伸。【典型例题】类型一、直线与平面垂直的判定例1、如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点.（1）求证：MN⊥CD；（2）若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD.【证明】（1）连接AC，AN，BN，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，∴AN=PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN=PC.∴AN=BN，∴△ABN为等腰三角形，又M为底边的中点，∴MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.

5、（2）连接PM、CM,∵∠PDA=45°，PA⊥AD，∴AP=AD.∵四边形ABCD为矩形.∴AD=BC，∴PA=BC.又∵M为AB的中点，∴AM=BM.而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,∴MN⊥平面PCD.【总结升华】证明线面之间的垂直关系，要注意在各个阶段以某一直线为主线进行推理，以使推理过程清晰、明朗.举一反三：【变式】【高清课堂：直线、平面垂直的判定与性质例2】如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF//AC，AB=,CE=EF=1（Ⅰ）求证：AF//平面BDE；

6、（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE;证明：（Ⅰ）设AC与BD交于点G。因为EF∥AG,且EF=1，AG=AC=1，所以四边形AGEF为平行四边形所以AF∥EG因为EG平面BDE,AF平面BDE,所以AF∥平面BDE（Ⅱ）连接FG，因为EF∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC,所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG=G,所以CF⊥平面BDE.类型二、直线与平面垂直的性质例2、如图所示，平面，点C在以AB为直径的⊙O上，，，点

7、E为线段PB的中点，点M在上，且∥．（Ⅰ）求证：平面∥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面PAC平面；【解析】（Ⅰ）证明：因为点E为线段PB的中点，点为线段的中点，[来源:学科网]所以∥.因为平面，平面，所以∥平面PAC.因为∥，因为平面，平面，所以∥平面PAC.因为平面，平面，，所以平面∥平面PAC.（Ⅱ）证明：因为点C在以AB为直径的⊙O上，所以，即.因为平面，平面，所以.因为平面，平面，，所以平面.因为平面，所以平面PAC平面.【总结升华】（1）当两个平面垂