2018版高中数学人教版a版选修1-1学案：2.2.1 双曲线及其标准方程

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1、2017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案2.2.1　双曲线及其标准方程[学习目标]　1.掌握双曲线的定义.2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.知识点一　双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.知识点二　双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2

4、(0，c)焦距

5、F1F2

6、＝2ca、b、c的关系c2＝a2＋b2思考　(1)双曲线定义中，将“小于

7、F1F2

8、”改为“等于

9、F1F2

10、”或“大于

11、F1F2

12、”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)确定双曲线的标准方程需要知道哪些量？答案　(1)当距离之差等于

13、F1F2

14、时，动点的轨迹就是两条射线，端点分别是F1、F2，当距离之差大于

15、F1F2

16、时，动点的轨迹不存在.(2)a，b的值及焦点所在的位置.82017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案题型一　求双曲线的标准方程例1　根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)经过点P(3，)，Q(－，5)；(2)

17、c＝，经过点(－5,2)，焦点在x轴上.解　(1)方法一　若焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，由于点P(3，)和Q(－，5)在双曲线上，∴解得(舍去).若焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，将P、Q两点坐标代入可得解得∴双曲线的标准方程为－＝1.综上，双曲线的标准方程为－＝1.方法二　设双曲线方程为＋＝1(mn<0).∵P、Q两点在双曲线上，∴解得∴所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)方法一　依题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0).则有解得∴所求双曲线的标准方程为－y2＝1.方法二　∵焦点在x轴上，c＝，∴设所求双曲线

18、方程为－＝1(其中0<λ<6).∵双曲线经过点(－5,2)，82017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案∴－＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去).∴所求双曲线的标准方程是－y2＝1.反思与感悟　求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值.若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂，注意到双曲线过两定点，可设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过解方程组即可确定m、n，避免了讨论，从而简化求解过程.跟踪训练1　求适合下列条件的双曲线的标准方程：(

19、1)两个焦点的坐标分别是(－5,0)，(5,0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(2，2).解　(1)由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4，又知焦点在x轴上，且c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，所以双曲线的标准方程为－＝1.(2)因为焦点在x轴上，可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，将点(4，－2)和(2，2)代入方程得解得a2＝8，b2＝4，所以双曲线的标准方程为－＝1.题型二　双曲线定义的应用例2　若F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点.(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于1

20、6，求点M到另一个焦点的距离；(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且

21、PF1

22、·

23、PF2

24、＝32，试求△F1PF2的面积.82017-2018学年高中数学人教A版选修1-1教学案解　双曲线的标准方程为－＝1，故a＝3，b＝4，c＝＝5.(1)由双曲线的定义得

25、

26、MF1

27、－

28、MF2

29、

30、＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则

31、16－x

32、＝6，解得x＝10或x＝22.故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将

33、

34、PF2

35、－

36、PF1

37、

38、＝2a＝6两边平方得

39、PF1

40、2＋

41、PF2

42、2－2

43、PF1

44、·

45、PF2

46、＝36，∴

47、

48、PF1

49、2＋

50、PF2

51、2＝36＋2

52、PF1

53、·

54、PF2

55、＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝＝0，且∠F1PF2∈(0°，180°)，∴∠F1PF2＝90°，＝

56、PF1

57、·

58、PF2

59、＝×32＝16.反思与感悟　(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据

60、

61、PF1

62、－

63、PF2

64、

65、＝2a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a).(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中