2013届学海导航 新课标高中总复习(第1轮)(数学文)江苏专版第8章第49讲 直线与圆的综合应用

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1、第八章平面解析几何初步直线与圆的综合应用第49讲直线与圆相切【例1】点评【变式练习1】已知圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0，点A(2a,0)，B(0,2b)，且a>1，b>1.(1)若圆与直线AB相切时，求线段AB的中点的轨迹方程；(2)若圆与直线AB相切，且△AOB面积最小时，求直线AB的方程及△AOB面积的最小值．直线和圆的方程的综合应用【例2】已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay＋1＝0，过定点P(0,1)作斜率为1的直线交圆C于A、B两点，P为线段AB的中点．(1)求a的值；(2)设E为圆C上异于A、B的任意一点，求圆C的内接三角形ABE的面积的最大值．点评本题较好地考查了直线与圆

2、的交点弦及圆内接三角形面积的最值．第(1)问的顺利解决得益于代入求差法：已知曲线的弦的中点为定点，斜率为定值，则设弦的端点坐标，代入曲线方程，两式相减，斜率都出来了，因而可以方便地求出参数a的值；第(2)问可以先求出直线CP的方程，然后求直线CP与圆的两个交点坐标，取能使到直线AB距离最大的一个点E的坐标，再求

3、EP

4、即可，但用三角代换的方法显然容易得多.动圆性质的探究【例3】已知t∈R，圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.(1)若圆C圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程；(2)圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．【解析】(1)圆C的方

5、程可化为(x－t)2＋(y－t2)2＝t4＋t2－4t＋4，其圆心为(t，t2)，则由题意有t－t2＋2＝0，所以t＝－1或t＝2，故圆C的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝10或(x－2)2＋(y－4)2＝16.点评动圆过定点问题有两种解法：一是先从动圆系中取出两个已知圆，求出它们的交点坐标，再将求得的坐标代入动圆中验证；二是将动圆方程改写为关于参数t的等式，再利用多项式恒等理论列出关于x，y的方程组，解得定点坐标．【变式练习4】已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，请

6、说明理由．1.过点P(0,1)与圆x2＋y2－2x－3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是_________________2.已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则C上各点到l的距离的最大值与最小值之差为__________x＋y－1＝05.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴上和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O是坐标原点，且有

7、PM

8、＝

9、PO

10、，求使

11、PM

12、最小的P点坐标．1．求圆的方程通常用待定系数法．若所求的圆过已知两圆的交点或一直线与圆的

13、交点，一般用圆系方程．2．如果圆心问题转化为三角函数问题更方便求解，则将圆上的点的坐标用参数式表示，特别是求最值的问题．3．有关直线和圆的位置关系，一般要由圆心到直线的距离与半径的大小来确定．4．直线与圆所涉及的知识都是平面解析几何的最基础的内容，并渗透到解析几何的各个部分，尤其是直线与圆的位置关系等，构成了解析几何问题的基础．因此，要在这些基础知识的内在的联系和基本方法的运用、通法的熟练程度上下狠功夫．