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《第11章 相交线与平行线》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第11章相交线与平行线赛点突破1．相交线两条直线相交,得到四个角,其中有一条公共边的两个角互为邻补角;而没有公共边的两个角叫做对顶角,对顶角相等.两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角，那么这两条直线互相垂直。垂线有如下的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点与直线内各点的连线中，垂线段最短。2．平行线在同一平面内没有公共点的两条直线是平行线。经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。本节的重点是平行线的判定和性质，即：同位角相等，两直线平行；反之有：两直线平行，同位角相等；
2、内错角相等，两直线平行；反之有：两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；反之有：两直线平行，同旁内角互补。范例解密例1已知∠AOB和∠BOC互为邻补角,OD是∠AOB的平分线,OE在∠BOC内,∠EOC=2∠BOE,∠DOE=72°,求∠EOC的度数.解设∠AOB=x°,∠BOC=y°,则∠DOB=x,∠BOE=y,依题意有:，解之,得x=72,y=108,从而∠EOC=y°=72°.例2四条直线交于一点,一共可以组成多少对对顶角?解如图，每两条直线相交可以构成两对对顶角，4条直线l1,
3、l2,l3,l4共可组成6组：l1和l2，l1和l3，l1和l4，l2和l3，l2和l4，l3和l4。它们一共组成12对对顶角。例3求证：成对顶角的两个角的平分线，在一直线上。证明：如图，AB、CD相交于O，则∠AOC与∠BOD成对顶角。设OE、OF分别为∠AOC、∠BOD的平分线，∵∠AOE=∠AOC∠BOF=∠BOD，且∠AOC=∠BOD∴∠AOE=∠BOF又∵∠BOF+∠FOD+∠DOA=180° ∴∠AOE+∠FOD+∠DOA=180°，即∠EOF=180° ∴OE、OF在同一直线上。例4
4、（1998年第9届希望杯数学邀请赛试题）（a）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另三条直线相交，并简单说明画法.（b）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交？如果能，请画出一例，如果不能，请简述理由.解（a）如图，在平面上作二直线m1∥m2∥m3，n1∥n2∥m3。由于彼此平行的直线不相交，所以图中每条直线都恰与另3条直线相交.（b）在平面上不能画出没有3线共点的7条直线，使得其中每条直线都恰与另外3条直线相交.理由
5、如下：假设平面上可以画出7条直线，其中每一条都恰与其他3条相交，因两直线相交只有一个交点，又没有3条直线共点，所以每条直线上恰有与另3条直线交得的3个不同的交点.我们按直线去计数这些交点，共有3×7＝21个交点，但每个交点分属两条直线，被重复计数一次，所以这7条直线交点总数为个，因交点个数应为整数，矛盾。所以，满足题设条件的7条直线是画不出来的例5如果一个角的两条边分别同另一个角的两条边互相平行,那么这两个角之间有什么关系?答：这两个角相等或互补。（1）当组成这两个角的两对射线方向对应相同或相反时
6、，这两个角相等，如下图中，∠1=∠2。（2）当组成这两个角的两对射线，一对方向对应相同，另一对方向相反时，这两个角互补。如下图中，∠1+∠2=180°。例6如图所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．分析利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能将∠1，∠2，∠C“集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过F点作BC的平行线恰能实现这个目标解过F到FG∥CB，交AB于G，则∠C=∠AFG,∠2=∠BFG.因为AE∥BD，所以∠1=∠BFA,所以∠C
7、=∠AFG=∠BFA-∠BFG=∠1-∠2=3∠2-∠2=2∠2=50°说明(1)运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧．(2)在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即∠C=∠1-∠2=2∠2=50°例7如图所示，AB∥CD,求∠B-∠E+∠D．证过E引EF∥AB，它将∠BED分成两个角：∠1，∠2(如图所示)．因为AB∥CD，所以EF∥AB．从而∠1=∠B，∠2=∠D，所以∠E=∠1+∠2=∠B+∠D，即∠B-∠E+∠D
8、=0。例8（1994年缙云杯初中数学竞赛试题）求证:两条平行线被第三条直线所截,一组同旁内角的平分线必互相垂直.已知:如图,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:EK⊥FK.证明过K作KH∥AB,则有∠1=∠5,∠4=∠6,∵AB∥CD,∴∠BEF+∠EFD=180°,∵∠1=∠BEF,∠4=∠EFD,∴∠1+∠3=90°,∴∠5+∠6=90°,即EK⊥FK.超级训练一．选择题1．对于互补的下列说法中：①∠A+∠B+∠C=900,则∠A、∠B、∠C互补；②若∠1是∠2的补角，则
