三角形全等证明思路

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1、证明三角形全等的常见思路　全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习。而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等。在辅导时可以抓住以下几种证明三角形全等的常见思路，进行分析。一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等。例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：AF=DE。证明∵BE=CF（已知），∴BE+EF=CF+E

2、F，即BF=CE。在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE（SAS）。∴AF=DE（全等三角形对应边相等）。2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等。例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。求证：AE=CE。证明∵FC∥AB（已知），∴∠ADE=∠CFE（两直线平行，内错角相等）。在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（ASA）.∴AE=CE（全等三角形对应边相等）3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等。例3（同例2）.证明∵FC∥AB（已知），∴∠A

3、=∠ECF（两直线平行，内错角相等）.在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE（AAS）.∴AE=CE（全等三角形对应边相等）。二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等。例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BCBD=CE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE.（原九义材《几何》二册32页8题）；证明∵∠1=∠2，∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB=∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）.2．证第三边对应相等，再用SSS证全等

4、。例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线AC=BD，AM=CN，BM=DN。求证：AM∥CN，BM∥DN。（原九义教材《几何》二册45页10题）证明∵AC=BD（已知）∴AC+BC+BC，即AB=CD.在△ABM和△CDN中，∴△ABM≌△CDN（SSS）∴∠A=∠NCD，∠ABM=∠D（全等三角应角相等），∴AM∥CN，BM∥DN（同位角相等，两直行）。三、已知两角对应相等1．证两已知角的夹边对应相等，再用ASA证全等。例6已知：如图5，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE.求

5、证：AB=DE，AC=DF.（原九义教材《几何》二册44页4题，有改动）证明∵FB=CE（已知）∴FB+FC=CE+FC，即BC=EF，∴△ABC≌△DEF（ASA）.∴△AB=DE，AC=DF（全等三角形对应边相等）2．证一已知角的对边对应相等，再用AAS证全等。例7已知：如图6，AB、CD交于点O，E、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF.求证：△ACE≌△BDF.证明∵OA=OB，OE=OF已知），∴OA-OE=OB-OF，即AE=BF，在△ACE和△BDF中，∴△ACE≌△BDF（

6、AAS）.四、已知一边与其对角对应相等，则可证另一角对应相等，再利用AAS证全等例8已知：如图7，在△ABC中，B、D、E、C在一条直线上，AD=AE，∠B=∠C．证：△ABD≌△ACE.证明∵AD=AE（已知）∴∠1=∠2（等边对等角），∵∠ADB=∠180°-∠1，∠AEC=180°-∠2（邻补角定义），∴∠ADB=∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（AAS）.4．怎样证明两个角相等？　[解答]（1）利用两个三角形全等是证明两角相等的最基本的方法；（2）利用两个角都与第三个角相等；（3）利用等腰三角

7、形两个底角相等；（4）利用平行四边形对角相等；（5）利用角平分线的性质；（6）利用圆上同弦所对的优角相等，劣角相等．例如图，已知：在正方形ABCD中，AC、BD相交于O，E、F分别是对角线AC、BD上的点，且OE=OF．求证：∠ACF=∠DBE．分析：要证∠ACF=∠DBE，只要证明Rt△OFC≌Rt△OEB，即可得证．证明∵ABCD为正方形，∴对角线AC、BD垂直平分．∴在Rt△EOB和Rt△OFC中，OE=OF，BO=OC．∴Rt△EOB≌Rt△OFC．∴∠DBE=∠ACG．6．怎样证明两条线段相等？　[解答]证明两条

8、线段相等的常用方法有：（1）利用两个三角形全等来证两条线段相等；（2）利用等腰三角形两腰相等；（3）利用第三条线段使两线段分别与之相等；（4）利用平行四边形对边相等的性质．当然，还有其他方法．请看下例：例如图所示，已知：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，D是AB上的一点，AD=AC，DE⊥AB交B