2018版高中数学人教b版必修四学案1.1.1 角的概念的推广

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1、1．1　任意角的概念与弧度制1．1.1　角的概念的推广[学习目标]　1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角．[知识链接]1．手表慢了5分钟，如何校准？手表快了1.5小时，又如何校准？当时间校准后，时针旋转了多少度？当时间校准后，分针旋转了多少度？答　可将分针顺时针方向旋转30°；可将时针逆时针方向旋转45°.2．在初中角是如何定义的？答　定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角．定义2：平面内一条射线绕着端

2、点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角．3．初中所学角的范围是什么？答　角的范围0°～360°.[预习导引]1．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示方法：①常用大写字母A，B，C等表示；②也可以用希腊字母α，β，γ等表示；③特别是当角作为变量时，常用字母α表示．(3)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角6负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角(4)

3、角的旋转：旋转生成的角，又常叫做转角．各角和的旋转量等于各角旋转量的和．2．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β

4、β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．3．象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.要点一　任意角概念的辨析例1　在下列说法中：①0°～90°的角是第一象限角；②第二象限

5、角大于第一象限角；③钝角都是第二象限角；④小于90°的角都是锐角．其中说法错误的序号为________．答案　①②④解析　①0°角不属于任何象限，所以①不正确．②120°是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以②不正确．③钝角α的范围是90°<α<180°，显然是第二象限角，所以③正确．④锐角的集合是{α

6、0°<α<90°}，小于90°的角也可以是零角或负角，所以④不正确．规律方法　判断说法错误，只需举一个反例即可．解决本题关键在于正确理解各类角的定义．随着角的概念的推广，对角的认

7、识不能再停留在初中阶段，否则判断容易错误．跟踪演练1　设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有(　　)A．BCAB．BACC．D(A∩C)D．C∩D＝B答案　D解析　锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.6角集合表示锐角B＝{α

8、0°<α<90°}0°～90°的角D＝{α

9、0°≤α<90°}小于90°的角A＝{α

10、α<90°}第一象限角C＝{α

11、k·360°<α

12、边相同的角的应用例2　在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°的角．解　(1)与10030°终边相同的角的一般形式为β＝k·360°＋10030°(k∈Z)，由－360°

13、＝310°.(3)由360°≤k·360°＋10030°<720°，得－9670°≤k·360°<－9310°，解得k＝－26，故所求的角为β＝670°.规律方法　求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．跟踪演练2　写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β<360°的元素β写出来．解　由终边相同的角的表示知，与角α＝－1910°终边相同的角的集合为{β

14、β＝k·360°－1910°，k∈Z}．∵－

15、720°≤β<360°，即－720°≤k·360°－1910°<360°(k∈Z)，∴3≤k<6(k∈Z)．故取k＝4,5,6.k＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°；k＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°；k＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°.要点三　象限角的判定例3　在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－95